[논문 리뷰] On the Subgroups of Right Angled Artin Groups and Mapping Class Groups

Martin R. Bridson|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 24.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 충분히 높은 종수를 가진 표면에 대해, 매핑 클래스 군이 결정 문제의 해가 존재하지 않는 유한형성 부분군을 포함함을 입증한다. 이는 결정 문제의 해가 존재하지 않는 오른쪽-각형 아르틴 군(RAAGs)을 매핑 클래스 군에 매장함으로써 유도된 결과이다. 또한 이러한 부분군은 지수함수적 Dehn 함수를 가질 수 있으며, 무한히 많은 토르션 원소의 공轭류를 가질 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

There exist right angled Artin groups $A$ such that the isomorphism problem for finitely presented subgroups of $A$ is unsolvable, and for certain finitely presented subgroups the conjugacy and membership problems are unsolvable. It follows that if $S$ is a surface of finite type and the genus of $S$ is sufficiently large, then the corresponding decision problems for the mapping class group $Mod(S)$ are unsolvable. Every virtually special group embeds in the mapping class group of infinitely many closed surfaces. Examples are given of finitely presented subgroups of mapping class groups that have infinitely many conjugacy classes of torsion elements.

연구 동기 및 목표

• 매핑 클래스 군의 유한형성 부분군에서 군론적 문제의 결정 가능성을 둘러싼 오랫동안 열려 있던 문제를 해결하기 위해.
• 표면 종수가 충분히 클 경우, 매핑 클래스 군의 특정 유한형성 부분군에 대해 동형, 공轭, 포함 문제의 해가 존재하지 않음을 보여주기 위해.
• 실제로 특수한 군이 무한히 많은 닫힌 표면의 매핑 클래스 군에 매장될 수 있음을 보여주어, 알려진 부분군의 구조 범위를 확장하기 위해.
• 매핑 클래스 군의 유한형성 부분군이 무한히 많은 토르션 원소의 공轭류를 포함할 수 있음을 구성적으로 보여주기 위해. 이는 토르션 원소가 없는 토렐리 부분군에서는 관찰되지 않는 현상이다.
• 이러한 부분군에서 단어 문제의 기하학적 복잡성을 분석하기 위해 지수함수적 Dehn 함수를 갖는 예를 제시하기 위해.

제안 방법

• 기하군론과 1-2-3 정리의 결과를 활용하여 결정 문제의 해가 존재하지 않는 오른쪽-각형 아르틴 군(RAAGs)을 매핑 클래스 군에 매장하는 방법을 사용한다.
• 모든 실로 특수한 군이 RAAG에 매장될 수 있으며, 따라서 무한히 많은 닫힌 표면의 매핑 클래스 군에 매장될 수 있음을 활용한다.
• Haglund과 Wise의 Rips 구성과 Bridson 및 Miller의 초등군의 하위직접곱에 대한 동형 문제 연구를 활용한다.
• 직접곱의 형태로 SL(2,Z) 부분군을 매핑 클래스 군에 구성함으로써 특정 예를 제시한다. 이 부분군들은 실로 자유군이며 고종수 표면에 매장될 수 있다.
• 하이퍼볼릭 3-다양체의 기본군의 부분군에 대해 Dehn 함수 분석을 적용함으로써 지수함수적 Dehn 함수를 갖는 군을 구성하고, 이 군이 RAAG에 매장됨을 보였다.
• 유한지수 부분군과 매장 정리의 활용을 통해 RAAG에서 매핑 클래스 군으로 결정 가능성과 복잡성 결과를 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고종수 표면의 매핑 클래스 군의 유한형성 부분군에 대해 동형, 공轭, 포함 문제는 항상 결정 가능할까?
• RQ2 매핑 클래스 군의 유한형성 부분군이 무한히 많은 토르션 원소의 공轭류를 가질 수 있는가?
• RQ3 매핑 클래스 군의 유한형성 부분군은 반드시 다항식 또는 이차 Dehn 함수를 가져야 하는가?
• RQ4 실로 특수한 군은 무한히 많은 닫힌 표면의 매핑 클래스 군에 매장될 수 있는가?
• RQ5 RAAG는 지수함수적 Dehn 함수를 갖는 유한형성 부분군을 포함하는가?

주요 결과

• 충분히 높은 종수를 가진 표면에 대해, 매핑 클래스 군의 유한형성 부분군에 대한 동형 문제의 해는 존재하지 않는다.
• 매핑 클래스 군의 결정 문제의 해가 존재하지 않는 유한형성 부분군이 존재한다.
• 매핑 클래스 군의 유한형성 부분군은 지수함수적 Dehn 함수를 가질 수 있으며, 이는 하이퍼볼릭 3-다양체 군의 부분군을 기반으로 한 구성에 의해 입증되었다.
• 결정 문제의 불결정성 현상은 이미 토렐리 부분군 내부에서도 존재한다. RAAG 매장은 이 부분군 내에 선택될 수 있기 때문이다.
• 매핑 클래스 군의 유한형성 부분군은 무한히 많은 토르션 원소의 공轭류를 포함할 수 있으며, 이는 토르션 원소가 없는 토렐리 부분군에서는 관찰되지 않는 성질이다.
• 모든 실로 특수한 군은 무한히 많은 닫힌 표면의 매핑 클래스 군에 매장될 수 있으며, 이는 알려진 매장 가능한 군의 범위를 크게 확장한다.