[논문 리뷰] On the Support of Physical Measures in Gauge Theories

Christian Fleischhack|ArXiv.org|2001. 09. 26.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 65인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2차원 게이지 이론에서 물리적 양-밀스 측도가 아슈테카르-류반도프스키 운동량 측도에 대해 순수하게 비특이적임을 증명하며, 물리적 측도를 구성하는 표준 지수-행동 방법이 실패함을 보여준다. 비특이성은 물리적 측도가 운동량 측도와 다른 게이지 궤도 공간 부분집합에 지지되어 있기 때문에 발생하며, 구성 공간을 지지 집합으로 명시적으로 분해함으로써 이를 입증한다.

ABSTRACT

It is proven that the physical measure for the two-dimensional Yang-Mills theory is purely singular with respect to the kinematical Ashtekar-Lewandowski measure. For this, an explicit decomposition of the gauge orbit space into supports of these two measures is given. Finally, the results are extended to more general (e.g. confining) theories. Such a singularity implies, in particular, that the standard method of determining the physical measure via ``exponential of minus the action times kinematical measure'' is not applicable.

연구 동기 및 목표

• 2차원 게이지 이론에서 물리적 양-밀스 측도와 운동량 측도인 아슈테카르-류반도프스키 측도 간의 관계를 규명하는 것.
• 표준적으로 exp(−S) × μ₀ 방식으로 물리적 측도를 구성하는 것이 타당한지 조사하는 것.
• 물리적 측도의 지지 구조와 양자화에 대한 영향을 분석하는 것.
• 결과를 더 일반적인(예: 금속성인) 게이지 이론으로 확장하는 것.

제안 방법

• 게이지 궤도 공간을 서로소인 부분집합으로 명시적으로 분해하여 아슈테카르-류반도프스키 측도와 양-밀스 측도의 지지 집합을 구성하는 것.
• 일반화된 접속과 호로노미 대수의 프로젝티브 극한 구성법을 사용하여 일반화된 접속 공간 위에 운동량 측도 μ₀를 정의하는 것.
• 윌슨 루프 변수와 호로노미 사상들을 적용하여 격자 측도의 약한 극한을 통해 물리적 측도 μ_YM를 정의하는 것.
• 구조군 G의 항등원 주변의 Ad-불변 노름과 이웃을 사용하여 μ₀-영 집합을 구성하여 매끄러운 접속을 포괄하는 것.
• 공통 교차점을 가진 수축하는 루프의 수열을 사용하여 모든 매끄러운 접속을 포함하는 μ_YM-영 집합을 구성함으로써, 매끄러운 접속의 μ_YM 측도가 0임을 증명하는 것.
• 두 측도가 동일한 구성 공간 위에 정의되어 있음에도 불구하고, 물리적 측도가 μ₀의 지지 집합과 서로소인 집합에 지지되어 있음을 보여줌으로써 비특이성을 입증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 물리적 양-밀스 측도는 아슈테카르-류반도프스키 측도에 대해 절대연속적인가?
• RQ2 물리적 측도는 양-밀스 행동의 지수 곱하기 운동량 측도 방식으로 구성될 수 있는가?
• RQ3 2D 양-밀스 이론에서 물리적 측도의 지지 구조는 무엇인가?
• RQ4 매끄러운 접속의 지지 구조는 물리적 측도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이러한 결과는 금속성과 같은 더 일반적인 게이지 이론으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 물리적 양-밀스 측도 μ_YM는 아슈테카르-류반도프스키 측도 μ₀에 대해 순수하게 비특이적이며, 이는 상호 비특이적임을 의미한다.
• μ_YM의 지지 집합은 일반 접속에 포함되어 있으며, μ₀는 일반 및 비일반 부분에 대해 전부 측도를 할당하지만, μ_YM는 비일반 및 매끄러운 접속 부분집합에 대해 측도를 0으로 할당한다.
• 매끄러운 접속의 집합은 μ_YM-영 집합이며, 이는 물리적 상태가 매끄러운 게이지 장으로 표현되지 않음을 보여준다.
• 측도 μ_YM는 μ₀의 지지 집합과 서로소인 게이지 궤도 공간의 부분집합에 지지되어 있으며, 이는 비특이성을 확인한다.
• 측도들이 서로 절대연속적이지 않기 때문에, 표준 구성 μ_YM = exp(−S_YM) dμ₀는 무효하다.
• 결과는 금속성과 같은 더 일반적인 게이지 이론으로도 확장되며, 이러한 비특이성은 게이지 이론에서 물리적 측도의 일반적 특성임을 시사한다.