[논문 리뷰] On the surjectivity properties of perturbations of maximal monotone operators in non-reflexive Banach spaces

M. Marques Alves, B. F. Svaiter|ArXiv.org|2008. 05. 29.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 20인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 리프레셰프(Reflexive)가 아닌 바나흐 공간에서 최대 단조 연산자의 섭동에 대한 전사성 기준을 확장하여 비반사 공간(non-reflexive Banach spaces)에서의 록파렐라(Rockafellar)의 전사성 결과를 일반화한다. 고즈네의 확장된 쌍대성 사상과 피츠파트릭 함수 이론을 활용하여, 최대 단조 연산자 $ T $ 가 쌍대성 사상 $ J $ 와 섭동되었을 때 전사성이 성립함을 증명하며, 피츠파트릭 함수를 포함하는 특정한 최소합 조건과의 등가성을 통해 반사 공간의 경우를 일반화한다.

ABSTRACT

We are concerned with surjectivity of perturbations of maximal monotone operators in non-reflexive Banach spaces. While in a reflexive setting, a classical surjectivity result due to Rockafellar gives a necessary and sufficient condition to maximal monotonicity, in a non-reflexive space we characterize maximality using a ``enlarged'' version of the duality mapping, introduced previously by Gossez.

연구 동기 및 목표

• 최대 단조 연산자의 전사성 결과를 반사 공간에서 비반사 공간으로 확장한다.
• 고즈네의 확장된 쌍대성 사상으로 비반사 공간에서 단조 연산자의 최대성 조건을 기술한다.
• 최대 단조 연산자 $ T $ 와 쌍대성 사상 $ J $ 의 합 $ T + J $ 의 전사성에 대한 필요 및 충분 조건을 확립한다.
• 피츠파트릭 함수 기법과 쌍대 곱의 부등식을 통해 비반사 공간에서 최대 단조성 이론을 통합한다.

제안 방법

• 비반사 바나흐 공간으로의 단조성 기준을 일반화하기 위해 고즈네의 확장된 쌍대성 사상 $ J_\varepsilon $ 를 활용한다.
• 최대 단조 연산자를 볼록 함수를 통해 표현하기 위해 피츠파트릭 함수 $ \varphi_T $ 와 그 관련 가족 $ \mathcal{F}_T $ 를 활용한다.
• 펜첼-영 부등식과 쌍대성의 공액을 적용하여, 부분미분 포함관계를 $ \varphi_T $ 를 포함하는 점별 부등식과 연결한다.
• 점 $ (x_0, x_0^*) $ 에 의한 연산자 이동을 기반으로 한 섭동 방법을 사용하고, 이를 통해 유도된 함수 $ h_{(x_0,x_0^*)} $ 를 분석한다.
• 모든 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해 극한 논증을 적용하여, $ g_{(x_0,x_0^*)}(x,x^*) + \frac{1}{2}\|x\|^2 + \frac{1}{2}\|x^*\|^2 $ 의 최솟값이 0임을 보인다.
• 모든 $ g \in \mathcal{F}_T $ 에 대해 $ \inf_{x,x^*} g_{(x_0,x_0^*)}(x,x^*) + \frac{1}{2}\|x\|^2 + \frac{1}{2}\|x^*\|^2 = 0 $ 이 성립하는 것과 $ T + J $ 의 전사성 사이의 등가성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 단조 연산자 $ T $ 와 쌍대성 사상 $ J $ 의 합 $ T + J $ 가 비반사 바나흐 공간에서 언제 전사적인가?
• RQ2 반사 공간에서의 록파렐라의 고전적 전사성 결과는 비반사 설정으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 고즈네의 확장된 쌍대성 사상 $ J_\varepsilon $ 는 비반사 바나흐 공간에서 최대성과 전사성의 특성화에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 $ T + J $ 의 전사성에 대한 등가 조건이 피츠파트릭 함수와 그 공액 함수를 통해 표현될 수 있는가?
• RQ5 $ T + J $ 의 전사성은 피츠파트릭 함수와 노름의 제곱을 포함하는 최소합 조건을 통해 기술될 수 있는가?

주요 결과

• $ T + J $ 의 전사성은 모든 $ g \in \mathcal{F}_T $ 와 모든 $ (x_0,x_0^*) \in T $ 에 대해 $ \inf_{x,x^*} g_{(x_0,x_0^*)}(x,x^*) + \frac{1}{2}\|x\|^2 + \frac{1}{2}\|x^*\|^2 = 0 $ 이 성립함과 동치이다.
• 전사성과 최소합 조건 사이의 등가성은 모든 $ (x_0,x_0^*) \in T $ 에 대해 균일하게 성립하며, 이는 록파렐라 결과를 비반사 공간으로 일반화한다.
• 증명 과정에서 최솟값 조건이 성립할 경우, $ \|\tilde{x} - \bar{x}\| < \varepsilon $ 와 $ \|\tilde{x}^* - \bar{x}^*\| < \varepsilon $ 를 만족하는 $ (\bar{x}, \bar{x}^*) \in T $ 가 존재함을 보이며, 이는 근사해가 정확한 해로 옮겨질 수 있음을 보장한다.
• 모든 $ (x^*, x^{**}) \in X^* \times X^{**} $ 에 대해 $ \inf_{(y,y^*) \in T} \langle x^{**} - y, x^* - y^* \rangle \leq 0 $ 이 성립하는 조건은 유형(NI) 연산자를 특성화하며, 이는 $ T + J $ 의 전사성과 동치이다.
• 피츠파트릭 함수 $ \varphi_T $ 와 그 공액 함수는 $ T + J $ 의 전사성 특성화에 중심적인 역할을 하며, $ T $ 의 점들에서 $ \varphi_T(x,x^*) = \langle x, x^* \rangle $ 이 성립한다.