[논문 리뷰] On the theory of higher rank Euler, Kolyvagin and Stark systems, III: applications

David Burns, Ryotaro Sakamoto외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 23인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 Gorenstein 순서 위의 p-진 Galois 표현에 대해, 오일러 체계와 코리바진 체계 사이의 정규화된 고차 코리바진 도함수 준동형사를 수립함으로써, 세일머 모듈의 구조를 통제하고, 등변 타마가와 수 추측을 비등변으로 줄이는 전략을 제공한다. 이를 통해 수체 위의 곱셈군과 Q의 아벨 확장 위의 타원곡선에 적용하여, 카토의 오일러 체계를 통해 브리시와 스위너튼-다이어 추측의 새로운 사례를 증명한다.

ABSTRACT

In an earlier article we proved the existence of a canonical Kolyvagin derivative homomorphism between the modules of Euler and Kolyvagin systems (in any given rank) that are associated to $p$-adic representations over number fields. We now explain how the existence of such a homomorphism leads to new results on the structure of the Selmer modules of Galois representations over Gorenstein orders and to a strategy for verifying (refinements of) the Tamagawa number conjecture of Bloch and Kato. We describe concrete applications relating to the multiplicative group over arbitrary number fields and to elliptic curves over abelian extensions of the rational numbers.

연구 동기 및 목표

• Gorenstein 순서 위에서 세일머 모듈을 통제하기 위해 고차 랭크 오일러, 코리바진, 스타크 체계 이론을 확장한다.
• Galois 코hom로지 복합체의 행렬식 모듈을 사용하여, 등변 타마가와 수 추측을 비등변으로 줄이는 전략을 개발한다.
• 구체적인 산술적 맥락에 이 те론을 적용한다: 수체 위의 곱셈군과 Q의 아벨 확장 위의 타원곡선.
• 카토의 오일러 체계를 사용하여 블로흐-카토 타마가와 수 추측과 등변 브리시-스위너튼-다이어 추측의 개선된 형태를 검증한다.

제안 방법

• 마즈르와 루빈의 표준 가정 하에, 오일러 체계와 코리바진 체계 사이의 정규화된 고차 코리바진 도함수 준동형사를 구성한다.
• 표준 가정이 [9]의 일반 이론에 필요한 모든 조건을 함의함을 증명하여, Gorenstein 순서 위의 세일머 모듈에 대한 적용 가능성을 보장한다.
• Galois 코호몰로지 복합체의 행렬식 모듈을 사용하여,离산 평가환수 위에서 등변 타마가와 수 추측을 비등변으로 줄인다.
• 곱셈군에 대해 블로흐-카토 원소와 그 코호몰로지 상의 상을 분석하여 이 이론을 적용한다.
• 카토의 제타 원소와 그로부터 유도된 코리바진 체계를 사용하여 세일머 군의 피팅 아이디얼을 통제한다.
• 나카야마의 보조정리와 피팅 아이디얼 기준을 사용하여 등변 BSD 추측의 등식 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차 코리바진 도함수 준동형사가 언제 전성적이 되어 오일러 체계의 도함수를 통해 세일머 모듈의 구조를 통제할 수 있는가?
• RQ2 행렬식 방법과 갈루아 코호몰로지 복합체를 사용하여 등변 타마가와 수 추측을 비등변의 경우로 줄일 수 있는가?
• RQ3 Q의 아벨 확장 맥락에서 카토의 오일러 체계가 세일머 군의 피팅 아이디얼을 어느 정도 통제할 수 있는가?
• RQ4 Q 위에서 BSD 추측의 성립이, 코리바진 체계를 통해 아벨 확장 위에서 해당 결과를 유도할 수 있는가?
• RQ5 쌍대 세일머 군의 피팅 아이디얼이 카토 오일러 체계의 상에 의해 생성되도록 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 고차 코리바진 도함수 준동형사가 전성적일 조건은, 쌍대 세일머 군의 피팅 아이디얼이 오일러 체계의 도함수의 상에 의해 생성될 때이며, 이는 통제를 위한 구체적인 기준을 제공한다.
• 마즈르와 루빈의 표준 가정은 고차 랭크 체계의 일반 이론에 필요한 모든 조건을 함의하므로, Gorenstein 순서 위의 세일머 모듈에 광범위하게 적용 가능하다.
• 등변 코어 정점의 존재는 명시적 코호몰로지 조건을 통해 특징지어지며, 이는 등변 코리바진 체계 이론의 개발을 가능하게 한다.
• Q의 아벨 확장 F 위의 타원곡선 E에 대해, 세일머 군의 피팅 아이디얼은 카토의 제타 원소의 상에 의해 생성된다. 이는 E(F)의 랭크가 1보다 클 때에만 성립한다.
• Q 위에서 BSD 추측이 성립하면, 카토 오일러 체계와 도함수 코리바진 체계를 함께 고려할 때 F 위에서의 피팅 아이디얼 등식이 성립한다.
• 조건 (c), (d), (e) 하에서 등변 브리시-스위너튼-다이어 추측이 검증되었으며, 이는 Q 위에서 BSD 추측이 성립하고, 기저 체에서 카토 원소가 BSD 원소와 일치한다는 가정을 포함한다.