[논문 리뷰] On the three-circle theorem and its applications in Sasakian manifolds

Shu-Cheng Chang, Yingbo Han외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 25.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 39인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비퇴화 토르션을 가진 완전 비콤팩트 편미분형 다성분류의 비정규 편미분형 섹션 곡률이 비음이 아닌 완전 비콤팩트 편미분형 다성분류에 대해 CR 세 원판 정리(CR three-circle theorem)를 수립하며, 다항식 성장률을 갖는 CR 헬름홀로픽 함수의 날카운 차원 추정을 증명하고 첫 번째 CR 요아 uniformization 추측을 확인한다. 이 결과는 CR 하이퍼리프라시안 비교 정리에 기반하며, 키아러 이론의 핵심 결과들을 CR 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

This paper mainly focuses on the CR analogue of the three-circle theorem in a complete noncompact pseudohermitian manifold of vanishing torsion being odd dimensional counterpart of Kähler geometry. In this paper, we show that the CR three-circle theorem holds if its pseudohermitian sectional curvature is nonnegative. As an application, we confirm the first CR Yau's uniformization conjecture and obtain the CR analogue of the sharp dimension estimate for CR holomorphic functions of polynomial growth and its rigidity when the pseudohermitian sectional curvature is nonnegative. This is also the first step toward second and third CR Yau's uniformization conjecture. Moreover, in the course of the proof of the CR three-circle theorem, we derive CR sub-Laplacian comparison theorem. Then Liouville theorem holds for positive pseudoharmonic functions in a complete noncompact pseudohermitian (2n+1)-manifold of vanishing torsion and nonnegative pseudohermitian Ricci curvature.

연구 동기 및 목표

• 퇴화 토르션을 가진 편미분형 다성분류에서 세 원판 정리의 CR 유사체를 수립하기 위해.
• 비음이 아닌 편미분형 섹션 곡률 조건 하에서 첫 번째 CR 요아 uniformization 추측을 확인하기 위해.
• CR 설정에서 다항식 성장률을 갖는 CR 헬름홀로픽 함수의 날카운 차원 추정을 유도하기 위해.
• 두 번째 및 세 번째 CR 요아 uniformization 추측의 기초를 다지기 위해 기본적인 비교 및 볼록성 결과를 증명하기 위해.
• 비음이 아닌 편미분형 리치 곡률 조건 하에서 양의 편미분형 조화 함수에 대해 리우빌 유형 정리를 확장하기 위해.

제안 방법

• 곡률 가정과 형태 $ u(r) = \frac{1}{2r} + \frac{A}{(1+r)^{1+\epsilon}} $를 가진 보조 함수를 사용하여 CR 하이퍼리프라시안 비교 정리를 유도한다.
• CR 설정에 적합하게 조정된 헤시안 비교 원리와 최대 원리를 적용하여 $ \log M_f(r) $ 가 $ \log r $ 에 대해 볼록임을 증명한다.
• 다항식 차수 $ d $ 를 갖는 CR 헬름홀로픽 함수의 공간을 유한차원 복소공간에 통합하기 위해 Poincaré-Siegel 사상 사용.
• 성장률을 제어하기 위해 $ h'(r) = \frac{\exp\left(\frac{2A}{\epsilon(1+r)^\epsilon}\right)}{r} \exp\left(-\frac{2A}{\epsilon}\right) $ 를 만족하는 비교 함수 $ h(r) $ 를 구성한다.
• CR 세 원판 정리를 적용하여 $ \frac{M_f(r)}{\exp(dh(r))} $ 가 증가함을 보이고, 이로부터 $ M_f(r) $ 의 하한을 도출한다.
• 함수 $ h(r) $ 의 渐近적 행동을 활용하여 임베딩 사상 $ \Phi $ 의 단사성에 의해 차원 추정을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음이 아닌 편미분형 섹션 곡률 조건을 만족하는 편미분형 다성분류에서 세 원판 정리는 CR 설정에서 성립하는가?
• RQ2 비음이 아닌 곡률 조건과 퇴화 토르션 조건 하에서 첫 번째 CR 요아 uniformization 추측을 확인할 수 있는가?
• RQ3 이러한 다성분류에서 다항식 성장률을 갖는 CR 헬름홀로픽 함수의 공간에 대해 날카운 차원 추정은 무엇인가?
• RQ4 비음이 아닌 편미분형 리치 곡률 조건을 만족하는 완전 비콤팩트 CR 다성분류에서 양의 편미분형 조화 함수에 대해 리우빌 정리가 성립하는가?
• RQ5 CR 하이퍼리프라시안 비교 정리를 사용하여 CR 헬름홀로픽 함수의 날카운 성장 추정을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 퇴화 토르션과 비음이 아닌 편미분형 섹션 곡률 조건을 만족하는 완전 비콤파クト 편미분형 $ (2n+1) $-다성분류에 대해 CR 세 원판 정리가 성립한다.
• 첫 번째 CR 요아 uniformization 추측이 확인된다: $ \dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{O}_d^{CR}(M)) \leq \dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{O}_d^{CR}(\mathbb{H}^n)) $, 등호가 성립할 경우 헬름홀로픽 등장사상이 헤이젠베르그 군과 등급을 갖는다.
• 곡률가 비음이 아닌 영역 외부에서 유계이면, $ \dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{O}_d^{CR}(M)) \leq C(\lambda,n) d^n $ 이 성립하는 날카운 차원 추정이 성립한다.
• 적당히 작은 $ \lambda = a(d_c(K))^2 $ 에 대해, $ \mathcal{O}_d^{CR}(M) $ 의 차원은 $ \mathcal{O}_d^{CR}(\mathbb{H}^n) $ 의 차원으로 유계이므로, 강성 조건이 성립한다.
• 리우빌 정리가 성립한다: 퇴화 토르션과 비음이 아닌 편미분형 리치 곡률 조건을 만족하는 완전 비콤팩트 편미분형 다성분류에서 양의 편미분형 조화 함수는 상수이다.
• 차원 추정은 날카롭다: $ \delta(\lambda) > 0 $ 가 존재하여 $ \dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{O}_{\delta(\lambda)}^{CR}(M)) = 1 $ 이 되며, 이는 비자명 함수의 최소 성장률을 나타낸다.