[논문 리뷰] On the transverse scalar curvature of a compact Sasaki manifold

Weiyong He|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 20.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 도널드슨의 모멘트 맵 프레임워크를 켈러 기하학에서 사사키 기하학으로 확장하여, 사사키 계량의 횡방향 스칼라 곡률이 엄격한 컨택토모르피즘 군에 대한 모멘트 맵으로 작용함을 보여준다. 사사키 계량의 공간이 무한차원 대칭 공간임을 입증하고, 일정한 횡방향 스칼라 곡률을 갖는 계량은 복소화된 군 작용 하에서 안정 궤도에 대응함을 보이며, 켈러 기하학의 그림을 사사키 다양체로 일반화한다.

ABSTRACT

We show that the standard picture regarding the notion of stability of constant scalar curvature metrics in Kähler geometry described by S.K. Donaldson, which involves the geometry of infinite-dimensional groups and spaces, can be applied to the constant scalar curvature metrics in Sasaki geometry with only few modification. We prove that the space of Sasaki metrics is an infinite dimensional symmetric space and that the transverse scalar curvature of a Sasaki metric is a moment map of the strict contactomophism group.

연구 동기 및 목표

• 상수 스칼라 곡률 계량에 대한 켈러 기하학의 무한차원 기하학적 프레임워크—특히 도널드슨의 모멘트 맵 그림—을 사사키 기하학으로 확장하는 것.
• 사사키 계량의 공간이 켈러 설정과 유사하게 무한차원 대칭 공간임을 입증하는 것.
• 사사키 계량의 횡방향 스칼라 곡률이 횡방향 켈러 구조 공간 위에서 엄격한 컨택토모르피즘 군의 작용에 대한 모멘트 맵임을 보이는 것.
• 지오데식선과 K-에너지 함수를 사용하여 일정한 횡방향 스칼라 곡률을 갖는 사사키 계량의 존재에 대한 안정성 기준을 제시하는 것.
• 기하학적 불변량 이론에서의 힐베르트 기준을 사사키 맥락으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 엄격한 컨택토모르피즘 군의 쌍대공간으로서 사사키 계량의 공간을 정의하며, 켈러 설정과 유사하게 한다.
• 구안-장의 정규성 결과와 지오데식 방정식을 사용하여 사사키 계량의 공간이 비양성적 곡률을 가지며 무한차원 대칭 공간을 이룬다는 것을 보인다.
• 횡방향 스칼라 곡률이 횡방향 켈러 구조 공간 위에서 엄격한 컨택토모르피즘 군의 작용에 대한 모멘트 맵임을 식별한다.
• 엄격한 컨택토모르피즘 군의 리 대칭을 복소화하여 횡방향 켈러 구조 공간 위에 작용하는 헬름홀츠 벡터장들을 정의한다.
• kemf-ness 정리 프레임워크를 적용하여 군의 심플렉틱 축소를 그 복소화된 군의 복소 몫으로 연결한다.
• 사사키 계량의 공간 위에서 K-에너지 함수를 사용하며, 이 함수가 지오데식선을 따라 볼록임을 보이고, 임계점이 일정한 횡방향 스칼라 곡률 계량에 정확히 대응함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 도널드슨의 켈러 기하학에서의 모멘트 맵 프레임워크를 사사키 기하학으로 확장할 수 있는가, 그리고 최소한의 수정으로 가능한가?
• RQ2 사사키 계량의 공간은 켈러 경우와 마찬가지로 무한차원 대칭 공간인가?
• RQ3 사사키 계량의 횡방향 스칼라 곡률은 엄격한 컨택토모르피즘 군의 작용에 의해 모멘트 맵으로 나타나는가?
• RQ4 사사키 기하학에서 일정한 횡방향 스칼라 곡률을 갖는 계량의 안정성 개념은 지오데식선과 K-에너지 함수와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 기하학적 불변량 이론에서의 힐베르트 기준은 사사키 맥락으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 사사키 계량의 공간은 켈러 설정을 일반화한 무한차원 대칭 공간이다.
• 사사키 계량의 횡방향 스칼라 곡률은 횡방향 켈러 구조 공간 위에서 엄격한 컨택토모르피즘 군의 작용에 대한 모멘트 맵이다.
• 횡방향 스칼라 곡률과 그 평균값의 차이는 등변 모멘트 맵이므로 안정성 해석이 가능하다.
• 일정한 횡방향 스칼라 곡률 계량은 모멘트 맵의 영점이며, 이는 복소화된 군 작용 하에서 안정 궤도에 대응할 것으로 기대된다.
• 사사키 계량의 공간 위에서 K-에너지 함수는 지오데식선을 따라 볼록하며, 임계점은 정확히 일정한 횡방향 스칼라 곡률 계량에 대응한다.
• 일정한 횡방향 스칼라 곡률 계량의 존재는 K-에너지가 감소하는 지오데식선이 존재하지 않는 것과 동치이며, 이는 힐베르트 기준과 유사한 기준을 제공한다.