[논문 리뷰] On the two-variable Dirichlet q-L-series

Yılmaz Şimşek, Daeyeoul Kim외 1명|ArXiv.org|2005. 11. 12.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 19인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 $q$-ベルヌーイ多項式과数를補間하는二変数ディリクレ型 $q$-L-関数と複数のチャングイ $q$-L-関数を導入한다. メリン変換と複素解析を用いて、積分表現を導出し、これらの $q$-L-関数とバーナーズ型 $q$-ゼータ関数との関係を確立し、古典的 $L$-関数理論を多変数およびディリクレ指標を含む $q$-類似に拡張する。

ABSTRACT

In this study, we construct the two-variable multiple Dirichlet q-L-function and two-variable multiple Dirichlet type Changhee q-L-function. These functions interpolate the q-Bernoulli polynomials and generalized Changhee q-Bernoulli polynomials. By using the Mellin transformation, we give an integral representation for the two-variable multiple Dirichlet type q-zeta function and the two variable multiple Dirichlet type Changhee q-L-function.

연구 동기 및 목표

• 二変数ディリクレ型 $q$-L-関数を定義・研究し、$q$-微積分を用いて古典的 $L$-関数を一般化する。
• バーナーズ型複数ゼータ関数の $q$-類似として複数のチャングイ $q$-L-関数を構成する。
• これらの $L$-関数を用いて一般化された $q$-ベルヌーイ数と多項式の解析的補間を確立する。
• メリン変換と留数計算を用いて積分表現を導出する。
• 新しい $q$-L-関数とバーナーズ型 $q$-ゼータ関数との関係を探索する。

제안 방법

• $q$-整数とディリクレ指標を含む級数を用いて、二変数ディリクレ型チャングイ $q$-L-関数 $L_q(s,x|\rho;w_1)$ を定義する。
• メリン変換を用いて、複数のチャングイ $q$-L-関数の積分表現を導出する。
• 留数定理を適用して、負の整数における $L$-関数の特別値が一般化された $q$-ベルヌーイ数にどのように関係するかを特定する。
• 生成関数としてのバーナーズ型複数チャングイ $q$-ゼータ関数 $\zeta_{q,r}(s,w|w_1,...,w_r)$ を構成する。
• 級数展開とパラメータの置き換えを通じて、複数の $q$-L-関数とバーナーズ型 $q$-ゼータ関数との関係を確立する。
• $p$-進 $q$-積分と生成関数を用いて、結果を複数ゼータ関数および $L$-関数の $q$-類似に拡張する。

실험 결과

연구 질문

• RQ1 二変数 $q$-類似のディリクレ $L$-関数は、どのようにして $q$-ベルヌーイ多項式を補間するように構成できるか？
• RQ2 メリン変換技術を用いた複数のチャングイ $q$-L-関数の積分表現は何か？
• RQ3 二変数 $q$-L-関数の負の整数における特別値は、一般化された $q$-ベルヌーイ数とどのように関係するか？
• RQ4 バーナーズ型複数チャングイ $q$-ゼータ関数と複数の $q$-L-関数との関係は何か？
• RQ5 $q$-L-関数は解析接続可能であり、既知の $q$-ゼータ関数で表現可能か？

주요 결과

• 二変数ディリクル型チャングイ $q$-L-関数 $L_q(s,x|\rho;w_1)$ が定義され、$L_q(1-n,x|\rho;w_1) = -\beta_{n,\rho}(x:q|w_1)/n$ を通じて一般化された $q$-ベルヌーイ多項式を補間することが示された。
• メリン変換と留数計算を用いて、複数のチャングイ $q$-L-関数の積分表現が導出された。
• 複数のチャングイ $q$-L-関数 $L_{q,r}(s,\rho|w_1,...,w_r)$ は、$q$-指数関数とディリクレ指標を含む多重和として表現された。
• バーナーズ型複数チャングイ $q$-ゼータ関数 $\zeta_{q,r}(s,w|w_1,...,w_r)$ が定義され、級数展開を通じて複数の $q$-L-関数と関係付けられた。
• $s = 1 - n$ における $L_{q,r}$-関数の特別値が、一般化された多重チャングイ $q$-ベルヌーイ数 $B_{n,\rho}^{(r)}(x,q|w_1,...,w_r)$ を用いて明示的に与えられた。
• パラメータの置き換えと級数の再インデックス化を通じて、二変数多重 $q$-L-関数とバーナーズ型 $q$-ゼータ関数との関係が確立された。