[논문 리뷰] On the Wiener index and Laplacian coefficients of graphs with given diameter or radius

Aleksandar Ilić, Andreja Ilić외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 29.

Graph theory and applications참고 문헌 17인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 분할 그래프에서 매칭 수와의 연결성을 이용하여 주어진 지름 또는 반경을 갖는 트리와 연결 그래프 중에서 모든 라플라스 계수를 동시에 최소화하는 그래프를 특성화한다. 주요 결과는 지름이 $ d $인 $ n $-정점 트리 중에서 캐터필러 $ C_{n,d} $가 모든 계수를 최소화하고, 반경이 $ r $인 그래프 중에서 $ C_{n,2r-1} $가 이를 만족한다는 것이다. 이는 이전의 위너 지수 최소화 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a simple undirected $n$-vertex graph with the characteristic polynomial of its Laplacian matrix $L(G)$, $\det (λI - L (G))=\sum_{k = 0}^n (-1)^k c_k λ^{n - k}$. It is well known that for trees the Laplacian coefficient $c_{n-2}$ is equal to the Wiener index of $G$. Using a result of Zhou and Gutman on the relation between the Laplacian coefficients and the matching numbers in subdivided bipartite graphs, we characterize first the trees with given diameter and then the connected graphs with given radius which simultaneously minimize all Laplacian coefficients. This approach generalizes recent results of Liu and Pan [MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 60 (2008), 85--94] and Wang and Guo [MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 60 (2008), 609--622] who characterized $n$-vertex trees with fixed diameter $d$ which minimize the Wiener index. In conclusion, we illustrate on examples with Wiener and modified hyper-Wiener index that the opposite problem of simultaneously maximizing all Laplacian coefficients has no solution.

연구 동기 및 목표

• 고정된 지름을 갖는 트리에서 위너 지수 최소화에 대한 이전 결과를 모든 라플라스 계수를 동시에 최소화하는 데로 확장한다.
• 고정된 반경 $ r $을 갖는 연결 $ n $-정점 그래프 중에서 모든 라플라스 계수를 최소화하는 그래프의 구조를 규명한다.
• 리우와 판, 웡과 군의 결과를 일반화하기 위해 트리의 지름이 $ d $인 경우 $ C_{n,d} $가 모든 $ c_k $ 계수를 최소화함을 증명한다.
• 위너 지수와 수정된 초위너 지수를 포함한 반대 예시를 사용하여 모든 라플라스 계수를 동시에 최대화하는 문제의 해가 존재하지 않음을 보여준다.

제안 방법

• 나무 $ T $의 $ k $-번째 라플라스 계수 $ c_k(T) $와 그 분할 그래프 $ S(T) $에서의 $ k $-매칭 수 $ m_k(S(T)) $ 사이의 항등식 $ c_k(T) = m_k(S(T)) $ 를 활용한다.
• 레마 2.2를 적용하여 경로의 합집합에서의 매칭 수가 경로 길이가 가능한 한 균일할 때 최소가 됨을 보이고, 이를 캐터필러 분할 그래프의 매칭 수 비교에 응용한다.
• 일반 캐터필러 $ C(a_1,\dots,a_{d-1}) $의 분할에서의 매칭과 $ C_{n,d} $의 매칭 사이의 대응을 구성하여 $ m_k(S(C_{n,d})) \leq m_k(S(C(a_1,\dots,a_{d-1}))) $ 를 보인다.
• 라플라스 고유값의 교차 성질을 이용하여 간선 제거가 라플라스 계수를 증가시키지 않음을 보이고, 일반 그래프에서 스패닝 트리로의 축소를 가능하게 한다.
• $ c_k(C_{n,2r-1}) \leq c_k(C_{n,2r}) $ 라는 결과를 적용하여 반경 $ r $인 그래프 중에서 $ C_{n,2r-1} $가 계수를 최소화함을 보인다.
• 20개 이하 정점까지의 트리에 대해 계산적 검증을 수행하여 $ c_k $를 최대화하는 극값 그래프를 분석하고, 특히 $ c_{n-2} $ (위너 지수)와 $ c_{n-3} $ (수정된 초위너 지수)에 초점을 맞춘다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 지름 $ d $를 갖는 $ n $-정점 트리 중에서 모든 라플라스 계수 $ c_k $를 동시에 최소화하는 그래프는 무엇인가?
• RQ2 고정된 반경 $ r $을 갖는 연결 $ n $-정점 그래프 중에서 모든 라플라스 계수 $ c_k $를 동시에 최소화하는 그래프는 무엇인가?
• RQ3 모든 라플라스 계수를 동시에 최대화하는 문제는 해결 가능한가? 만약 그렇지 않다면 이유는 무엇인가?
• RQ4 고정된 지름 또는 반경 조건 하에서 위너 지수와 수정된 초위너 지수를 최소화하는 극값 그래프는 어떻게 비교되는가?
• RQ5 캐터필러가 모든 $ k $에 대해 최소 라플라스 계수를 보장하는 구조적 특성은 무엇인가?

주요 결과

• 지름이 $ d $인 $ n $-정점 트리 중에서 $ C_{n,d} $는 $ k = 0,1,\dots,n $에 대해 모든 라플라스 계수 $ c_k $를 유일하게 최소화한다.
• 반경이 $ r $인 연결 $ n $-정점 그래프 중에서 캐터필러 $ C_{n,2r-1} $는 모든 라플라스 계수 $ c_k $를 최소화한다.
• 위너 지수 $ c_{n-2} $와 수정된 초위너 지수 $ c_{n-3} $는 각각 $ C_{n,d} $와 $ C_{n,2r-1} $에 의해 그 각각의 그래프 클래스 내에서 최소화된다.
• 모든 라플라스 계수를 동시에 최대화하는 단일 그래프는 존재하지 않으며, 작은 $ n $에서도 $ c_{n-2} $와 $ c_{n-3} $를 최대화하는 극값 그래프가 서로 다르다.
• $ n=18 $, 지름 $ d=4 $일 때, $ c_{16} $ (위너 지수)를 최대화하는 트리는 $ c_{15} $ (수정된 초위너 지수)를 최대화하는 트리와 다릅니다.
• $ n=17 $, 반경 $ r=5 $일 때, $ c_{15} $ (위너 지수)를 최대화하는 트리는 $ c_{14} $ (수정된 초위너 지수)를 최대화하는 트리와 다릅니다.