[논문 리뷰] On unitary 2-representations of finite groups and topological quantum field theory

Bruce Bartlett|ArXiv.org|2009. 01. 26.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 106인용 수 40

한 줄 요약

이 논문은 유한군의 유니터리 2표현과 위상적 양자장이론(TQFT) 사이의 깊은 연결 고리를 확립하며, 유니터리 2표현의 2-category에서 항등 2함수의 변환들의 브레드된 모나이드 범주가 군에서의 공액 작용에 대한 등변 벡터(bundle)의 범주와 융합 텐서곱에 대해 동치임을 보여준다. 또한 2차 특성 함수 함자가 유니터리로 완전 충실하다는 것을 증명하고, 융합 범주에서 피vla르構조를 호환되는 변환과 항등 함자의 왜곡된 모나이드 자연변환으로 특성화한다.

ABSTRACT

This thesis contains various results on unitary 2-representations of finite groups and their 2-characters, as well as on pivotal structures for fusion categories. The motivation is extended topological quantum field theory (TQFT), where the 2-category of unitary 2-representations of a finite group is thought of as the `2-category assigned to the point' in the untwisted finite group model. The first result is that the braided monoidal category of transformations of the identity on the 2-category of unitary 2-representations of a finite group computes as the category of conjugation equivariant vector bundles over the group equipped with the fusion tensor product. This result is consistent with the extended TQFT hypotheses of Baez and Dolan, since it establishes that the category assigned to the circle can be obtained as the `higher trace of the identity' of the 2-category assigned to the point. The second result is about 2-characters of 2-representations, a concept which has been introduced independently by Ganter and Kapranov. It is shown that the 2-character of a unitary 2-representation can be made functorial with respect to morphisms of 2-representations, and that in fact the 2-character is a unitarily fully faithful functor from the complexified Grothendieck category of unitary 2-representations to the category of unitary equivariant vector bundles over the group. The final result is about pivotal structures on fusion categories, with a view towards a conjecture made by Etingof, Nikshych and Ostrik. It is shown that a pivotal structure on a fusion category cannot exist unless certain involutions on the hom-sets are plus or minus the identity map, in which case a pivotal structure is the same thing as a twisted monoidal natural transformation of the identity functor on the category. Moreover the pivotal structure can be made spherical if and only if these signs can be removed.

연구 동기 및 목표

• 유한군의 유니터리 2표현의 2범주와 공액 작용에 대한 등변 벡터(bundle)의 범주 간의 범주적 동치를 확립하는 것.
• 유니터리 2표현의 복소화된 그로텐디크 범주에서 유니터리 등변 벡터(bundle)의 범주로 가는 2차 특성 함수 함수가 유니터리로 완전 충실하다는 것을 보여주는 것.
• 일부 호환되는 변환들이 호환되는 변환의 ±항등사상이 되는 조건을 분석함으로써 융합 범주에서 피vla르 구조를 특성화하고, 이러한 구조를 항등 함자의 왜곡된 모나이드 자연변환과 연결하는 것.
• 특히 Z(S¹) ≃ Dim Z(pt)를 검증함으로써, 비틀림이 없는 유한군 모델에서 확장된 TQFT의 기하학적 및 범주론적 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 유니터리 2함수, 변환, 수정을 갖춘 유한군의 유니터리 2표현의 2범주를 구성하는 것.
• 항등 2함수의 '고차원 추적(Trace)' 구조(Dim)를 유니터리 2표현의 2범주에 적용하여 항등 2함수의 변환들의 범주를 도출하는 것.
• 끈다리 다이어그램 계산법과 무비 이동 기법을 사용하여 수반 동치와 자연변환의 조화 법칙을 검증하는 것.
• 유한군 G 위의 공액 작용에 대한 등변 유니터리 벡터(bundle)의 범주에 대해, 섬유별로 병합(convolution)과 공액 작용에 의해 유도된 브레딩을 사용하여 융합 텐서곱을 정의하는 것.
• 2차 특성 함수 함수를 유니터리, 완전 충실하고 선형적인 사상으로서, 2표현의 복소화된 그로텐디크 범주에서 유니터리 등변 벡터(bundle)의 범주로 정의하는 것.
• 호환되는 변환에 의해 유도된 호환되는 변환과 항등 함자의 모나이드 자연변환 간의 관계를 분석함으로써 융합 범주에서 피vla르 구조를 연구하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비틀림이 없는 유한군 모델의 확장된 TQFT 프레임워크에서 원환면에 할당된 범주적 구조는 무엇인가요?
• RQ2 유니터리 2표현의 2차 특성 함수는 어떻게 함자적이고, 그 본질적 이미지는 무엇인가요?
• RQ3 융합 범주에서 피vla르 구조가 존재하는 조건은 무엇이며, 항등 함자의 자연변환과는 어떻게 관련되어 있나요?
• RQ4 융합 범주의 호환되는 변환에 대한 호환되는 변환은 피vla르 및 구면 구조의 존재를 어떻게 제약하는가요?
• RQ5 항등 2함수의 변환들의 브레드된 모나이드 범주와 공액 작용에 대한 등변 벡터(bundle)의 범주 간의 정확한 관계는 무엇인가요?

주요 결과

• 유한군의 유니터리 2표현의 2범주에서 항등 2함수의 변환들의 범주는 군에서의 공액 작용에 대한 등변 유니터리 벡터(bundle)의 범주와 융합 텐서곱에 대해 동치이다.
• 2차 특성 함수 함수는 유니터리 2표현의 복소화된 그로텐디크 범주에서 군의 유니터리 등변 벡터(bundle)의 범주로 가는 유니터리로 완전 충실한 함수이다.
• 융합 범주에서 피vla르 구조가 존재하는 것은, 호환되는 변환들이 호환되는 변환의 ±항등사상이 되는 조건과 동치이며, 이 경우 해당 구조는 항등 함자의 왜곡된 모나이드 자연변환에 대응한다.
• 피vla르 구조를 구면 구조로 만들 수 있는 것은, 호환되는 변환들의 부호를 제거할 수 있을 때, 즉 모든 호환되는 변환이 항등사상일 때에 한하여 가능하다.
• 항등 2함수의 변환들의 브레드된 모나이드 구조는 등변 벡터(bundle)의 융합 텐서곱을 통해 실현되며, 브레딩은 첫 번째 인자를 공액 작용으로 변형하고 교환함으로써 정의된다.
• 고차원 추적과 융합 범주 간의 동치성 증명은 무비 이동 계산법과 3범주 2Cat에서의 수반 동치에 대한 조화 법칙 정리에 기반한다.