[논문 리뷰] One-sided $(b, c)$-inverses in rings

Yuanyuan Ke, Jelena Višnjić외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 21.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비가환환에서 $(b,c)$-역행렬과 원소에 沿한 한쪽 방향 역행렬을 일반화한 one-sided $(b,c)$-역행렬과 one-sided annihilator $(b,c)$-역행렬을 도입한다. 존재 조건을 필수적이고 충분한 조건으로 규명하고, $1 + (α - a)a^{ op}$ 등의 특정 원소의 좌/우 역행성과 one-sided $(b,c)$-역행성 간의 동치성을 증명함으로써, 비가환환에서의 일반화된 역행렬 이론을 통합하고 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we introduce a new generalized inverse in a ring -- one-sided $(b, c)$-inverse, derived as an extension of $(b, c)$-inverse. This inverse also generalizes one-sided inverse along an element, which was recently introduced by H. H. Zhu et al. [H. H. Zhu, J. L. Chen, P. Patrício, Further results on the inverse along an element in semigroups and rings, Linear Multilinear Algebra, 64 (3) (2016) 393-403]. Also, here we present one-sided annihilator $(b, c)$-inverse, which is an extension of the annihilator $(b, c)$-inverse. Necessary and sufficient conditions for the existence of these new generalized inverses are obtained. Furthermore, we investigate conditions for the existence of one-sided $(b, c)$-inverse of a product of three elements and we consider some properties of one-sided $(b, c)$-inverses.

연구 동기 및 목표

• 환에서 $(b,c)$-역행렬과 원소에 沿한 한쪽 방향 역행렬을 일반화하기 위해 one-sided $(b,c)$-역행렬을 도입하는 것.
• annihilator $(b,c)$-역행렬의 확장으로서 one-sided annihilator $(b,c)$-역행렬을 정의하고 연구하는 것.
• one-sided $(b,c)$-역행렬의 존재를 위한 필요 및 충분 조건을 확립하는 것.
• 세 원소의 곱에 대한 one-sided $(b,c)$-역행렬의 존재를 탐구하는 것.
• 구조적 환 이론적 조건을 통해 기존의 일반화된 역행렬 이론을 통합하고 확장하는 것.

제안 방법

• 조건 $yab = b$, $cay = c$, 및 $y \in bRy \cap yRc$ 를 통해 좌/우 $(b,c)$-역행렬을 정의하며, 존재할 경우 유일성을 보장한다.
• 조건 $yay = y$, $^\circ b = ^\circ y$, 및 $y^\circ = c^\circ$ 를 통해 one-sided annihilator $(b,c)$-역행렬을 도입하며, 유일성을 보장한다.
• 이미지 및 핵 이상수($aR$, $Ra$, $^\circ a$, $a^\circ$)와 같은 환 이론적 도구를 사용하여 존재 조건을 특성화한다.
• Jacobson의 보조정리(Lemma 4.1)를 적용하여 $1 + (α - a)a^{\top}$ 및 $1 + a^{\top}(\alpha - a)$의 좌/우 역행성과 one-sided $(b,c)$-역행성 간의 관계를 규명한다.
• 특정 원소의 역행성과 one-sided $(b,c)$-역행성 간의 동치성을 증명하며, $a$가 $(b,c)$-역행렬을 가진다는 전제를 활용한다.
• 대칭성 원리를 활용하여 좌측 결과를 우측 $(b,c)$-역행렬 및 Annihilator 변형으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 환 $R$ 내에서 원소 $\alpha$ 에 대해 one-sided $(b,c)$-역행렬이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 one-sided $(b,c)$-역행렬은 고전적 $(b,c)$-역행렬과 원소에 沿한 역행렬과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 원소 $a$ 가 $(b,c)$-역행렬을 가진다는 전제 하에, $\alpha$ 의 left $(b,c)$-역행성과 $1 + (\alpha - a)a^{\top}$ 의 left 역행성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 세 원소의 곱에 대해 one-sided $(b,c)$-역행렬의 존재 조건을 구성 요소들로 특성화할 수 있는가?
• RQ5 one-sided $(b,c)$-역행렬의 Annihilator 변형은 표준 $(b,c)$-역행렬과 어떻게 다를 수 있으며, 이를 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 좌측 $(b,c)$-역행렬의 존재 조건은 $R = Rc\alpha + ^\circ b$ 이며, 우측의 경우에 대해 대칭적으로 적용된다.
• 원소 $a$ 가 $(b,c)$-역행렬을 가진다는 것은 $b$ 및 $c$ 가 regular임을 의미하며, $bR = a^{\top}R$, $Rc = Ra^{\top}$ 를 유도할 수 있다. 이는 존재 조건 유도에 활용된다.
• 좌측 $(b,c)$-역행성은 $1 + (\alpha - a)a^{\top}$ 의 좌측 역행성과 동치이며, 우측의 경우에도 마찬가지로 Lemma 4.1 을 통해 증명된다.
• one-sided annihilator $(b,c)$-역행렬은 $yay = y$, $^\circ b = ^\circ y$, $y^\circ = c^\circ$ 를 통해 특성화되며, 이는 annihilator $(b,c)$-역행렬을 일반화한다.
• 이 결과들은 원소에 沿한 역행렬 이론과 $(b,c)$-역행렬 이론을 통합하고 확장하며, 원소에 沿한 한쪽 방향 역행렬이 one-sided $(b,c)$-역행렬의 특수한 경우임을 보여준다.
• 논문은 비가환환에서의 한쪽 방향 역행렬 분석을 위한 프레임워크를 제공하며, 원소의 곱과 구조적 성질에의 응용 가능성을 제시한다.