[논문 리뷰] Online and Offline Greedy Algorithms for Routing with Switching Costs

Roy Schwartz, Mohit Singh외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 07.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 전환 지연이 있는 회로 스위칭 스케줄링 문제에 대해 (1−1/e−ϵ)-근사값을 달성하는 하이브리드 오프라인 그레디 및 랜덤화 라운딩 알고리즘을 제안하며, 온라인 변형을 오프라인 문제로 환원하여 O(δ/ϵ)의 추가 시간을 허용하는 이중기준 (e−1)/(2e−1)−ϵ 경쟁 비율을 확보한다. 이는 표준 선형계획법(Linear Programming, LP) 근사에서 발생하는 유계가 없는 정수성 갭(Integrality Gap)을 극복한다.

ABSTRACT

Motivated by the use of high speed circuit switches in large scale data centers, we consider the problem of circuit switch scheduling. In this problem we are given demands between pairs of servers and the goal is to schedule at every time step a matching between the servers while maximizing the total satisfied demand over time. The crux of this scheduling problem is that once one shifts from one matching to a different one a fixed delay $δ$ is incurred during which no data can be transmitted. For the offline version of the problem we present a $(1-\frac{1}{e}-ε)$ approximation ratio (for any constant $ε>0$). Since the natural linear programming relaxation for the problem has an unbounded integrality gap, we adopt a hybrid approach that combines the combinatorial greedy with randomized rounding of a different suitable linear program. For the online version of the problem we present a (bi-criteria) $ ((e-1)/(2e-1)-ε)$-competitive ratio (for any constant $ε>0$ ) that exceeds time by an additive factor of $O(\fracδε)$. We note that no uni-criteria online algorithm is possible. Surprisingly, we obtain the result by reducing the online version to the offline one.

연구 동기 및 목표

• 고속 데이터센터 네트워크에서 핵심 과제인 고정 전환 지연 하에서의 회로 스위칭 스케줄링에 대한 효율적인 오프라인 및 온라인 알고리즘 설계.
• 이 문제에 대해 표준 선형계획법 근사에서 발생하는 유계가 없는 정수성 갭을 극복하기.
• 전환 지연으로 인해 복잡해진 상황에서도 오프라인 및 온라인 변형에 대해 증명 가능한 근사 보장을 제공하기.
• 온라인 문제를 오프라인 문제로 환원하여 이중기준 경쟁 알고리즘을 가능하게 하기.
• 모든 가능한 매칭과 지속 시간으로 인해 기저 집합 크기가 지수적으로 증가하는 상황에서도 거의 최적의 근사 비율을 달성하기.

제안 방법

• 표준 근사에서 발생하는 유계가 없는 정수성 갭을 다루기 위해 특수하게 설계된 선형계획법의 조합적 그레디 선택과 랜덤화 라운딩을 융합한 하이브리드 알고리즘.
• 오프라인 케이스에서는 전환 지연 δ와 시간 창 W의 비율에 따라 알고리즘을 조정하며, δ ≪ W일 경우 그레디 기반, 그 외의 경우 라운딩 기반으로 전환.
• 온라인 케이스에서는 시간 영역을 크기 kδ의 블록으로 분할하고, 각 블록의 누적 수요에 대해 오프라인 솔버를 실행한다.
• 온라인 알고리즘은 이중기준 보장을 사용하며, 최적보다 O(δ/ϵ)의 추가 시간을 허용한다. 이는 유일기준 온라인 알고리즘이 불가능한 상황에서 필수적이다.
• 분석은 블록 단위로 진행되는 귀납적 추론에 기반하며, 근사 비율을 제한하는 계수 γ를 사용하며, β(오프라인 성능)와 k(블록 크기) 사이의 트레이드오프를 통해 최적화한다.
• 핵심 기술적 구성 요소는 첫 번째 블록에서 전송되지 않은 데이터를 고려한 수정된 최적 스케줄의 구축으로, 이는 성능에 대한 귀납적 경계를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 선형계획법 근사에서 발생하는 유계가 없는 정수성 갭이 존재하는 상황에서도, (1−1/e−ϵ)-근사값을 달성할 수 있는가?
• RQ2 전환 지연이 있는 회로 스위칭 스케줄링에 대해 일정한 경쟁 비율을 달성하는 온라인 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ3 온라인 문제를 오프라인 문제로 환원하면서도 거의 최적의 근사 비율을 유지할 수 있는가?
• RQ4 이 설정에서 일정한 경쟁 비율을 달성하기 위해 필요한 최소한의 시간 오버헤드는 얼마인가?
• RQ5 전환 지연 δ가 시간 창 W에 비해 증가함에 따라 성능은 어떻게 악화되는가?

주요 결과

• 논문은 하이브리드 그레디 및 랜덤화 라운딩 접근법을 통해 전환 지연이 있는 오프라인 회로 스위칭 스케줄링 문제에 대해 (1−1/e−ϵ)-근사값을 달성한다.
• 오프라인 알고리즘은 전용 선형계획법과 조합 기법을 사용하여 표준 LP 근사에서 발생하는 유계가 없는 정수성 갭을 극복한다.
• 온라인 변형에서는 이중기준 (e−1)/(2e−1)−ϵ 경쟁 비율을 달성하며, O(δ/ϵ)의 추가 시간 오버헤드를 수반한다.
• 온라인 문제에서 오프라인 문제로의 환원은 온라인 알고리즘이 오프라인 근사 보장을 그대로 이어받을 수 있도록 하며, 시간 확장에 따른 통제 가능한 손실을 제공한다.
• 분석을 통해 경쟁 비율의 계수 γ는 γ = β / (1 + (1−2/k)β)로 최적화됨을 증명한다. 여기서 β는 오프라인 근사 요인이다.
• 결과적으로 유일기준 온라인 알고리즘이 불가능함을 보여주며, 이 설정에서 이중기준 근사의 타당성을 정당화한다.