[논문 리뷰] Open strings, Lagrangian conductors and Floer functor

Jean-Yves Welschinger|ArXiv.org|2008. 12. 01.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 28인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 반정규적 심플렉틱 다양체에서 라그랑주 도전자에서 유한 차수의 열린 끈의 유한 복합체의 호모토피 범주로 가는 플로어 함수를 도입하며, 첫 번째 체르누 클래스가 0일 경우 라그랑주 구에 대한 정수 계수 플로어 코homology를 가능하게 한다. 이는 심플렉틱 이론의 $A_1$-특이적인 거의 복소構조를 포함하도록 거의 복소構조의 공간을 확장함으로써 이루어지며, 플로어 이론의 핵심 장애를 해결하고 호모로지 거울 대칭 이론을 지지한다.

ABSTRACT

We introduce a contravariant functor, called Floer functor, from the category of Lagrangian conductors of a symplectic manifold to the homotopy category of bounded chain complexes of open strings in this manifold. The latter two categories are defined for all symplectic manifolds, whereas Floer functor is defined for semipositive manifolds which are either closed or convex at infinity. We then prove that when the first Chern class of the symplectic manifold vanishes, Lagrangian spheres define Lagrangian conductors so that in particular their integral Floer cohomology is well defined. This requires the introduction of singular almost-complex structures given by symplectic field theory.

연구 동기 및 목표

• 라그랑주 도전자에서 심플렉틱 다양체의 열린 끈의 유한 복합체의 호모토피 범주로 가는 반대변화적 플로어 함수를 정의한다.
• 첫 번째 체르누 클래스가 0인 다양체에서 라그랑주 구에 대한 정수 계수 플로어 코homology를 정의하는 데에 발생하는 장애를 해결한다.
• 심플렉틱 이론에서 유래한 $A_1$-특이적인 구조를 포함하도록 거의 복소構조의 공간을 확장하여 $J$-해석적 원판의 국소화를 가능하게 한다.
• 라그랑주 구가 라그랑주 도전자임을 증명하고, 이러한 설정에서 잘 정의된 정수 계수 플로어 코homology를 갖는다.
• 플로어 형식론 내에 날개달린 복합체와 도파일 케이테고리들을 통합함으로써 호모로지 거울 대칭의 프레임워크를 지지한다.

제안 방법

• 열린 끈의 전가환 범주 ${\cal OS}(X,\omega)$를 도입하며, 이는 대칭, 텐서곱, ${\mathbb{Z}}$-작용을 갖는다. 이에 대해 $\mathbb{Z}((t^{{\mathbb{R}}}))$ 위의 자유 모듈러스 계수의 함자를 정의한다.
• 라그랑주 도전자는 서로 교차하는 닫힌 라그랑주 부분다양체의 유한 집합으로, 스타시에프의 아소시아헤드론 위의 전이 곡선에 값이 $\cal J_{\omega}$인 거의 복소構조 공간에 가진 함수를 갖는다.
• 플로어 복합체와 계속성 사상들을 사용하여 ${\cal F}:{\cal CL}^{\pm}(X,\omega)\to K^{b}({\cal OS}_{1}(X,\omega))$라는 플로어 함자를 구성하며, 거의 복소構조의 경로를 통한 호모토피적 성질을 보장한다.
• 거의 복소構조의 공간을 $\overline{\cal J}_{\omega}={\cal J}_{\omega}\sqcup\partial{\cal J}_{\omega}$로 확장하며, 심플렉틱 이론에서 유래한 $A_1$-특이적 구조를 도입하여 $J$-해석적 원판의 특이성을 다룬다.
• 정리 4.1에 따라 국소화 현상(특이성)을 적용하여, 경계가 라그랑주 구에 있는 $J$-해석적 원판이 예상보다 높은 코드림의 부분다양체에 집중됨을 보이며, 정수 계수 플로어 코homology를 가능하게 한다.
• 원판의 특이성 제거와 모스-보트 기법을 사용하여, 라그랑주 구의 플로어 코hom로지가 ${\mathbb{Z}}((t^{{\mathbb{R}}}))$-대수로서 $H^*(S^n,\mathbb{Z})\otimes\mathbb{Z}((t^\mathbb{R}))$와 자연스럽게 동형임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 첫 번째 체르누 클래스가 0인 심플렉틱 다양체에서 표준 플로어 이론의 장애로 인해 라그랑주 구에 대한 정수 계수 플로어 코homology를 정의할 수 있는가?
• RQ2 라그랑주 구에 경계를 가진 $J$-해석적 원판의 국소화를 가능하게 하기 위해 거의 복소構조의 공간을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 스타시에프의 아소시아헤드론과 다중플리히드론은 라그랑주 도전자의 자료를 정리하고 플로어 함수를 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 특이적인 거의 복소構조의 고차원 부분다양체에서의 $J$-해석적 막대의 국소화는 플로어 복합체의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 라그랑주 도전자의 범주가 라그랑주 구와 그 플로어 코hom로지 모듈러스의 집합 위에 전가환 범주적 구조를 정의하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 플로어 함수 ${\cal F}$는 닫힘 또는 무한대에서 볼록한 반정규적 심플렉틱 다양체에서 잘 정의되며, 라그랑주 도전자를 열린 끈의 유한 복합체의 호모토피 범주로 매핑한다.
• 첫 번째 체르누 클래스가 0일 경우, 라그랑주 구는 라그랑주 도전자가 되며, 확장된 $A_1$-특이적 거의 복소構조 공간을 통해 정수 계수 플로어 코homology를 구성할 수 있다.
• $A_1$-특이적 거의 복소構조는 $J$-해석적 원판이 예상보다 높은 코드림의 부분다양체로 국소화되게 하여, 정수 계수 플로어 코homology에 대한 핵심 장애를 해결한다.
• 라그랑주 구 $L$의 플로어 코hom로지 $HF(L,L;J_L)$는 ${\mathbb{Z}}((t^{{\mathbb{R}}}))$-대수로서 $H^*(S^n,\mathbb{Z})\otimes\mathbb{Z}((t^\mathbb{R}))$와 자연스럽게 동형이며, 차수 0과 $n$에 생성자가 존재한다.
• 첫 번째 체르누 클래스가 0인 닫힌 또는 무한대에서 볼록한 심플렉틱 다양체에서, 정규 라그랑주 구는 해밀토니안 이sov타피에 의해 자신으로부터 이동될 수 없다. 이 결과는 후카사-오-오노의 결과와 일치한다.
• 중심화된 순환의 범주 $\widetilde{{\cal L}ag}_0(X,\omega)$는 소형 전가환 범주적 구조를 가지며, 임의의 두 개의 잊혀진 함수 $\text{For}_J$의 분할은 동형인 부분범주를 유도한다.