[논문 리뷰] Operadic categories and their skew monoidal categories of collections

Stephen Lack|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 20.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Batanin과 Markl가 도입한 operadic categories의 일반화된 개념을 제안하고, 각 such category에 대해 두 개의 skew monoidal categories of collections을 구성한다. 이러한 categories의 monoid는 원래 operadic category 위의 operads와 정확히 일치한다. 주요 기여는 원래 operadic category의 새로운 등가 정의로서, 관련된 skew monoidal categories of collections을 통한 것이며, 한 버전은 원래 category의 완전한 재구성 가능성을 보장하고, 다른 버전은 오른쪽 단위 제약의 가역성을 보장한다.

ABSTRACT

I describe a generalization of the notion of operadic category due to Batanin and Markl. For each such operadic category I describe a skew monoidal category of collections, such that a monoid in this skew monoidal category is precisely an operad over the operadic category. In fact I describe two skew monoidal categories with this property. The first has the feature that the operadic category can be recovered from the skew monoidal category of collections; the second has the feature that the right unit constraint is invertible. In the case of the operadic category S of finite sets and functions, for which an operad is just a symmetric operad in the usual sense, the first skew monoidal category has underlying category [N, Set], and the second is the usual monoidal category of collections [P, Set] with the substitution monoidal structure.

연구 동기 및 목표

• Batanin과 Markl가 도입한 operadic categories의 개념을 일반화하여, operads를 연구하기 위한 더 깔끔한 프레임워크를 제공하는 것.
• 각 일반화된 operadic category에 대해 두 개의 서로 다른 skew monoidal categories of collections을 구성하여, 이러한 categories의 monoid가 원래 category 위의 operads와 정확히 일치하도록 하는 것.
• 원래 operadic category가 그에 관련된 skew monoidal category of collections로부터 재구성될 수 있음을 보여주어, 새로운 범주론적 특성화를 확립하는 것.
• skew monoidal category의 오른쪽 단위 제약이 가역이 되는 조건을 규명하여, 특정 경우에 모노이드 구조로 이어지는 조건을 밝혀내는 것.
• 대칭 operad의 경우, 이 구성이 표준적인 substitution 곱을 갖는 collection의 모노이드 범주를 복원함을 보여주는 것.

제안 방법

• 유한 순서수의 범주로의 기수 함수와 일정한 조건을 만족하는 함수족 R_p를 갖춘 범주로 일반화된 operadic category를 정의한다.
• Set 값을 갖는 일반화된 operadic category 위의 사전층 범주에 대해, 치환 유사 곱을 사용한 skew monoidal 구조를 정의한다.
• 두 가지 버전의 skew monoidal category of collections을 구성한다: 하나는 category와 [N, Set]로의 opmonoidal functor로부터 원래 operadic category를 완전히 복원할 수 있고, 다른 하나는 오른쪽 단위 제약이 가역이 되도록 한다.
• skew monoidal category of collections에서 [N, Set]로의 opmonoidal functor를 사용하여 일반화된 구조를 고전적인 operadic 구성과 연결한다.
• Street의 알려진 구성(변환)을 적용하여 skew monoidal category를 오른쪽 정규화된 것으로 변환하고, 이 경우 모노이드 범주로 이어지는 키 포인트를 보여준다.
• 최종적으로 얻어진 모노이드 범주는 대칭 operad의 경우 표준적인 substitution 곱을 갖는 collection의 범주와 모노이드 동치임을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 operadic category의 개념을 어떻게 일반화하여, operads를 위한 더 유연하고 깔끔한 범주론적 프레임워크를 만들 수 있는가?
• RQ2 각 일반화된 operadic category에 대해, 그 monoid가 정확히 해당 category 위의 operads가 되는 skew monoidal category of collections을 구성할 수 있는가?
• RQ3 원래 operadic category가 그에 관련된 skew monoidal category of collections로부터 재구성될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ4 언제 skew monoidal category of collections이 오른쪽 정규화된 구조를 갖는가? 그리고 이는 언제 모노이드 범주로 이어지는가?
• RQ5 대칭 operad operadic category의 경우 이 구성은 어떻게 행동하는가? 그리고 표준적인 collection의 모노이드 범주를 복원하는가?

주요 결과

• 논문은 Batanin과 Markl의 원래 정의를 확장하여 더 유연한 프레임워크를 제공하는 일반화된 operadic category를 도입한다.
• 각 일반화된 operadic category에 대해, 그 monoid가 원래 category 위의 operads와 정확히 일치하는 두 개의 skew monoidal categories of collections을 구성한다.
• 첫 번째 구성에서는 원래 operadic category가 skew monoidal category of collections과 그 [N, Set]로의 opmonoidal functor로부터 완전히 복원될 수 있다.
• 두 번째 구성에서는 오른쪽 단위 제약이 가역이며, 대칭 operad의 경우 이로 생성된 범주는 표준적인 substitution 곱을 갖는 collection의 범주와 모노이드 동치이다.
• 2-나무 operadic category Ω₂의 경우, 이 구성은 모노이드성의 충분 조건을 만족하지 못하여 Coll^U_Ω₂가 모노이드 범주가 아닐 수 있음을 시사한다.
• 논문은 spans의 2-범주에서의 skew monoidales와의 연결을 확립하여, 범주 B 위의 operadic category의 구조가 Span 내의 skew monoidale 구조와 쌍대임을 보여준다.