[논문 리뷰] Operator amenability of the Fourier algebra in the cb-multiplier norm

Brian Forrest, Volker Runde외 1명|ArXiv.org|2005. 01. 06.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 31인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $G$가 이산적이고 약하게 아벨리안일 때, $A(G)$의 cb-승수(norm)를 갖춘 $A_{\mathrm{cb}}(G)$로 표기되는 푸리에 대수는 잔여 유한차원적일 경우 연산자 아벨리안임을 증명한다. 뚜렷한 점은 $\mathbb{F}_2$가 아벨리안이 아니지만 $A_{\mathrm{cb}}(\mathbb{F}_2)$는 여전히 연산자 아벨리안이라는 것이다. 또한 저자들은 $A(G)$의 약하게 완전히 보완 가능한 이상이 정확히 cb-유계 근사 항등원을 갖는 것들과 일치함을 증명한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group, and let $A_\cb(G)$ denote the closure of $A(G)$, the Fourier algebra of $G$, in the space of completely bounded multipliers of $A(G)$. If $G$ is a weakly amenable, discrete group such that $\cstar(G)$ is residually finite-dimensional, we show that $A_\cb(G)$ is operator amenable. In particular, $A_\cb(F_2)$ is operator amenable even though $F_2$, the free group in two generators, is not an amenable group. Moreover, we show that, if $G$ is a discrete group such that $A_\cb(G)$ is operator amenable, a closed ideal of $A(G)$ is weakly completely complemented in $A(G)$ if and only if it has an approximate identity bounded in the cb-multiplier norm.

연구 동기 및 목표

• 푸리에 대수 $A(G)$의 cb-승수 노름에서의 완비화인 $A_{\mathrm{cb}}(G)$의 연산자 아벨리안성을 조사하는 것.
• 비아벨리안 군, 특히 $\mathbb{F}_2$와 같은 이산 군에서 $A_{\mathrm{cb}}(G)$가 연산자 아벨리안인지 여부를 규명하는 것.
• $A(G)$의 약하게 완전히 보완 가능한 닫힌 이상을 cb-노름에서 유계인 근사 항등원을 통해 특성화하는 것.
• 기존의 아벨리안 경우를 초월하여 연산자 공간 기법을 사용해 $A(G)$의 이상에 대한 보완 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• $A_{\mathrm{cb}}(G)$를 $A(G)$의 완비화로 정의하며, 이는 $A(G)$의 완전히 유계 승수 공간 내에서 cb-승수 노름을 갖는다.
• Ruan이 도입한 연산자 아벨리안 개념과 연산자 공간 이론을 활용하여 $A_{\mathrm{cb}}(G)$를 양자화된 바나흐 대수로 분석한다.
• $A_{\mathrm{cb}}(G)$ 위의 모듈러 이론, 특히 완전히 유계 모듈러 프로젝션과 $\mathrm{VN}(G)$의 쌍대성 개념을 적용하여 이상의 보완성을 연구한다.
• $A_{\mathrm{cb}}(G)$가 쌍대 공간임을 이용해 근사 항등원의 강한-*극한을 추출함으로써 $\mathcal{M}_{\mathrm{cb}}(G)$ 내의 특성 함수를 구성한다.
• $\mathrm{VN}(G)$와 그 쌍대공간에서의 프로젝션의 모듈러 호모모르피즘 성질을 활용하여 유계 승수를 $A(G)$로 올려, 특정 집합 $F$에 대해 $1_F \in \mathcal{M}_{\mathrm{cb}}(A(G))$임을 증명한다.
• 쌍대성과 모듈러 구조를 통해 이상 보완성와 cb-유계 근사 항등원의 존재가 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아벨리안 이산 군 $G$ 중에서 $A_{\mathrm{cb}}(G)$가 연산자 아벨리안이 되는 것은 무엇인가?
• RQ2 $G$가 아벨리안이 아니더라도 $A_{\mathrm{cb}}(G)$가 연산자 아벨리안이 될 수 있는가?
• RQ3 $A_{\mathrm{cb}}(G)$가 연산자 아벨리안일 경우, $A(G)$의 약하게 완전히 보완 가능한 닫힌 이상은 무엇으로 특성화되는가?
• RQ4 cb-유계 근사 항등원의 존재와 $A(G)$의 이상 보완성 사이에 연결 고리가 존재하는가?
• RQ5 연산자 공간 기법은 고전적인 이상 보완성 및 근사 항등원 결과를 어떻게 확장하는가?

주요 결과

• 이산적이고 약하게 아벨리안이며 $C^*(G)$가 잔여 유한차원적인 군 $G$에 대해 $A_{\mathrm{cb}}(G)$는 연산자 아벨리안이다.
• $\mathbb{F}_2$는 아벨리안이 아니지만 $A_{\mathrm{cb}}(\mathbb{F}_2)$는 여전히 연산자 아벨리안이며, 이는 이 분야에서 비아벨리안 군에 대해 연산자 아벨리안임이 입증된 최초의 예이다.
• $A(G)$의 닫힌 이상 $I$가 $A(G)$에서 약하게 완전히 보완 가능할 조건은 $I$가 cb-승수 노름에서 유계인 근사 항등원을 갖는 것과 정확히 일치한다.
• $A_{\mathrm{cb}}(G)$가 연산자 아벨리안일 경우, $A(G)$의 닫힌 이상 $I$가 완전히 보완 가능할 조건은 $I = I(F)$를 만족하는 어떤 $F \subset G$가 존재하여 $1_F \in \mathcal{M}_{\mathrm{cb}}(A(G))$임과 정확히 일치한다.
• 이상 $I \subset A(G)$에 대해 cb-유계 근사 항등원이 존재하면, 관련 집합 $F$의 특성 함수 $1_F$가 $\mathcal{M}_{\mathrm{cb}}(A(G))$에 속한다.
• 증명 기법은 [Woo1]과 [Woo2]의 결과를 비아벨리안 군으로 확장하기 위해 $A(G)^{**}$와 $\mathrm{VN}(G)$에서의 모듈러 호모모르피즘과 쌍대성을 활용한다.