[논문 리뷰] Operator Complexity for Continuous Variable Systems

S. Shajidul Haque, Chandan Jana외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 15.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 연속 변수 양자 시스템에 대해 연산자 복잡도를 일반화하여 양자 조화 진동자에서 이동, 압축, 회전 연산자의 군 다양체 위의 최소 지오데식 길이를 계산함으로써 이를 다루었다. 복잡도는 상태에 독립적이며, 이동 복잡도는 코herent 상태 매개변수와 같고, 압축 복잡도는 압축 매개변수에 비례하며, 압축 각도에 영향을 받지 않는다.

ABSTRACT

We extend the method of computing operator complexity as a minimal length geodesic on a group manifold to infinite-dimensional Hilbert spaces by computing the complexity for the displacement, squeeze and rotation operators of a quantum harmonic oscillator. The resulting complexity of these operators is state-independent since this approach is independent of the particular reference and target states chosen. We show how the group manifold geometry associated with the Heisenberg generators of the displacement operator is non-compact 3-dimensional hyperbolic space, with a time-independent complexity equal to the magnitude of the coherent state parameter. A generic quadratic Hamiltonian for a quantum harmonic oscillator can be decomposed as a product of squeeze and rotation operators, parameterized by a squeezing parameter, squeezing angle, and rotation angle. The squeeze and rotation operators are elements of the group SU(1,1), and we again find an associated geometry of the group manifold that is negatively curved. The corresponding complexity of the squeezing operator is proportional to the squeezing parameter and is independent of the squeezing angle, in contrast the complexity of squeezed states found in some state-based approaches. These results are a step towards characterizing the properties of quantum information for continuous variable systems in a state-independent way.

연구 동기 및 목표

• 연속 변수 시스템을 위한 무한차원 힐베르트 공간으로 연산자 복잡도를 일반화하기 위해.
• 조화 진동자 시스템에서 양자 회로 복잡도를 측정하기 위한 상태 독립적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 이동, 압축, 회전 연산자와 관련된 연산자 다양체의 기하학적 구조를 특성화하기 위해.
• 복잡도가 특정 기준 또는 목표 상태에 의존하지 않고 군 다양체 기하학에 기인한다는 것을 확립하기 위해.

제안 방법

• 양자 조화 진동자 연산자의 복잡도를 군 다양체 위의 최소 지오데식 길이로 계산하기 위해.
• 이동 연산자를 해이젠베르그 군으로 모델링하며, 그 다양체는 비콤팩트 3차원 쌍곡 공간이다.
• SU(1,1) 군 구조를 사용하여 일반적인 2차 해밀토니안을 압축 및 회전 연산자의 곱으로 매개변수화하기 위해.
• 압축 및 회전 연산자의 복잡도를 SU(1,1) 군 다양체의 기하학을 통해 유도하기 위해, 이는 음의 곡률을 나타낸다.
• 항등원 연산자로부터의 리만 거리로 복잡도를 계산하기 위해 군 다양체 위의 불변 메트릭을 사용하기 위해.
• 복잡도 측정법이 기준 및 목표 상태의 선택에 영향을 받지 않도록, 오직 연산자 군 구조에 의존하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 변수 양자 시스템에서 무한차원 힐베르트 공간에 대해 연산자 복잡도를 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ2 조화 진동자에서 이동, 압축, 회전 연산자의 복잡도를 뒷받침하는 기하학적 구조는 무엇인가?
• RQ3 이 연산자의 복잡도는 기준 및 목표 양자 상태의 선택에 따라 달라지는가?
• RQ4 압축 연산자의 복잡도는 그 압축 매개변수와 각도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이러한 양자 연산을 구현하는 데 필요한 본질적 어려움을 반영하는 상태 독립적 복잡도 측정법을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 이동 연산자의 복잡도는 특정 코herent 상태에 관계없이 코herent 상태 매개변수의 크기와 같다.
• 이동 연산자의 군 다양체는 비콤팩트 3차원 쌍곡 공간이며, 시간에 따라 변하지 않는 복잡도를 가진다.
• 압축 연산자의 복잡도는 압축 매개변수에 비례하며, 압축 각도에 영향을 받지 않는다.
• 회전 연산자의 복잡도 역시 상태 독립적이며, SU(1,1) 군 다양체의 음의 곡률 기하학에서 기인한다.
• 임의의 2차 해밀토니안에 대한 총 복잡도는 압축 및 회전 연산자 복잡도의 곱으로 결정되며, 기준 또는 목표 상태에 의존하지 않는다.
• 이 프레임워크는 연속 변수 시스템에 대해 양자 정보 복잡도의 상태 독립적 특성화를 성공적으로 달성했다.