[논문 리뷰] Towards the non-equilibrium thermodynamics of the complexity and the Jarzynski identity

Chen Bai, Wenhao Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 20.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 61인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 복잡도 기하학과 Jarzynski 항등식을 활용하여 양자 계산 복잡도를 비평형 열역학 프레임워크로 제안한다. SU(N) 다양체 위에 분할 함수를 구성하고, 고갈 항을 포함한 Fokker-Planck 방정식에서 Jarzynski 항등식을 유도함으로써, 비평형 동역학을 기반으로 한 변동-소산 정리와 제2법칙을 유도하며, 횡방향 자성장 이징 모델을 통해 수치적으로 검증한다.

ABSTRACT

We discuss, from a non-equilibrium thermodynamics perspective, the proposals that quantum computational complexity can be described via geometric approaches, i.e. complexity geometry. We review the basic concepts of complexity geometry and the principle of minimum complexity. We describe how to construct a partition function on special unitary group manifold, which may be extended to derive the Jarynzki identity from a Fokker-Planck equation with a sink term. In this way, we obtain, by using the Hamilton-Jacobi equation, the Jarzynski identity that directly relates to quantum computational complexity for what might be carried out to provide a non-equilibrium framework for describing quantum complexity. In this paper, we mainly utilize this framework to prove the second law of complexity and obtain a fluctuation-dissipation theorem based on the complexity version of the Jarzynski identity. Besides, we choose the transverse field Ising model as an example to test our results numerically.

연구 동기 및 목표

• 양자 계산 복잡도에 대한 비평형 열역학적 기술을 개발하기 위해.
• SU(N) 다양체 위의 분할 함수를 통해 복잡도 기하학과 Jarzynski 항등식 간의 연결 고리를 구축하기 위해.
• 이 프레임워크 내에서 변동-소산 정리를 유도하고 제2법칙을 증명하기 위해.
• 다체 양자 시스템에서의 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 프레임워크를 검증하기 위해.

제안 방법

• 양자 복잡도를 열역학 시스템으로 모델링하기 위해 특수(unitary) 군 다양체 위에 분할 함수를 구성하기 위해.
• 비평형 동역학을 기술하기 위해 고갈 항을 포함한 Fokker-Planck 방정식에서 Jarzynski 항등식을 유도하기 위해.
• 역동학을 Jarzynski 항등식과 복잡도 측정치에 연결하기 위해 하미르톤-자코비 방정식을 적용하기 위해.
• 복잡도 기하학을 활용하여 최소 복잡도 경로를 정의하고, 이를 비평형 과정에서의 열역학적 일과 연결하기 위해.
• 예측을 수치적으로 테스트하기 위해 프레임워크를 횡방향 자성장 이징 모델에 구현하기 위해.
• 유도된 형식을 사용하여 양자 복잡도에 특화된 변동-소산 정리를 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 복잡도 접근을 통해 비평형 열역학 프레임워크를 활용해 양자 계산 복잡도를 기술할 수 있는가?
• RQ2 양자 복잡도 맥락에서 고갈 항을 포함한 Fokker-Planck 방정식에서 Jarzynski 항등식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 복잡도-열역학 프레임워크 내에서 변동-소산 정리의 형태는 어떠한가?
• RQ4 이 비평형 형식에서 복잡도의 제2법칙은 어떻게 도출되는가?
• RQ5 이론적 예측은 이징 모델과 같은 다체 양자 시스템에서 수치적으로 검증될 수 있는가?

주요 결과

• 고갈 항을 포함한 Fokker-Planck 방정식에서 Jarzynski 항등식이 성공적으로 유도되었으며, 이는 양자 계산 복잡도와 연결된다.
• 복잡도-열역학 프레임워크 내에서 변동-소산 정리가 확립되었으며, 평형 통계역학과 유사하다.
• 복잡도의 제2법칙이 증명되었으며, 양자 계산을 구현하기 위해 필요한 평균 일은 복잡도의 변화를 초과함을 보여준다.
• 횡방향 자성장 이징 모델을 사용하여 이론적 프레임워크가 수치적으로 검증되었으며, 이론적 예측과 일관성을 보였다.
• SU(N) 다양체 위의 분할 함수는 양자 복잡도의 기하학적 및 열역학적 기술을 제공하며, 비평형 분석을 가능하게 한다.