[논문 리뷰] Optimal Control Computation via Evolution Partial Differential Equation with Arbitrary Definite Conditions

Sheng Zhang, Enmi Yong외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 27.

Spacecraft Dynamics and Control참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 경계 조건을 갖는 진화 편미분방정식(Evolution Partial Differential Equation, EPDE)을 사용하여 타당하지 않은 초기 상태에서 최적 해로 수렴하는 새로운 최적 제어 계산 방법을 제안한다. 비제약 리아프노프 함수를 구성하고, EPDE를 반산분할하여 초기값 문제로 변환함으로써 전역 수렴을 보장하며, 높은 정확도와 강건성을 갖는 수치 예제를 통해 검증된다.

ABSTRACT

The compact Variation Evolving Method (VEM) that originates from the continuous-time dynamics stability theory seeks the optimal solutions with variation evolution principle. It is further developed to be more flexible in solving the Optimal Control Problems (OCPs), by relaxing the definite conditions from a feasible solution to an arbitrary one for the derived Evolution Partial Differential Equation (EPDE). To guarantee the validity, an unconstrained Lyapunov functional that has the same minimum as the original OCP is constructed, and it ensures the evolution towards the optimal solution from infeasible solutions. With the semi-discrete method, the EPDE is transformed to the finite-dimensional Initial-value Problem (IVP), and then solved with common Ordinary Differential Equation (ODE) numerical integration methods. Illustrative examples are presented to show the effectiveness of the proposed method.

연구 동기 및 목표

• 기존 방법의 고정된 경계 조건에 대한 한계를 극복할 수 있는 유연한 최적 제어 계산 프레임워크를 개발하는 것.
• 타당하지 않은 초기 조건을 포함한 임의의 초기 조건에서 최적 해로의 수렴을 가능하게 하는 것.
• 원래 최적 제어 문제의 최소값을 유지하는 비제약 리아프노프 함수를 통해 전역 수렴을 보장하는 것.
• EPDE를 반산분할하여 초기값 ODE 시스템으로 변환함으로써 수치적으로 다룰 수 있는 접근법을 제공하는 것.
• 높은 정확도와 강건성을 갖는 수치 예제를 통해 방법의 유효성을 검증하는 것.

제안 방법

• 변화 진동 원리를 사용하여 최적 제어 문제에서 진화 편미분방정식(EPDE)을 유도하는 것.
• 원래 최적 제어 문제와 동일한 최소값을 유지하는 비제약 리아프노프 함수를 도입하여, 임의의 초기 상태에서의 수렴을 보장하는 것.
• EPDE를 유한차원 시스템으로 반산분할하여 초기값 문제(IVP)로 변환하는 것.
• 해결된 IVP를 일반적인 상미분방정식(ODE) 수치적 통합 방법으로 푸는 것.
• 기존 방법이 타당한 초기 해가 필요로 하는 것과는 달리, 임의의 경계 조건을 허용함으로써 유연성을 높이는 것.
• 연속 시간 동역학 안정성 이론을 활용하여 최적 해로의 진화를 이끄는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타당하지 않은 초기 조건에서 최적 제어 문제를 효과적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 임의의 초기 상태에서 최적 해로의 수렴을 보장하기 위해 리아프노프 함수를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 반산분할이 EPDE를 수치적으로 해석 가능한 ODE 시스템으로 변환하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 기존 최적 제어 계산 기법과 비교해 본다면, 제안된 방법의 정확도와 강건성은 어떠한가?
• RQ5 EPDE 프레임워크는 수렴성을 훼손하지 않고 임의의 경계 조건을 처리할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 타당하지 않은 초기 조건에서 출발하더라도 시스템이 최적 해로 수렴하는 데 성공한다.
• 비제약 리아프노프 함수는 원래 최적 제어 문제의 최소값을 유지함으로써 전역 수렴을 보장한다.
• EPDE를 IVP로 반산분할함으로써 표준 ODE 해법기를 사용한 효율적인 수치적 해법이 가능해진다.
• 수치 예제를 통해 다양한 시험 케이스에서 높은 정확도와 강건성을 입증하였다.
• 기존 방법이 타당한 시작점을 요구하는 것과는 달리, 임의의 경계 조건을 허용함으로써 높은 유연성을 보였다.
• 수치적 안정성과 수렴 성질 덕분에 실시간 및 대규모 최적 제어 응용 분야에서 큰 잠재력을 보였다.