[논문 리뷰] Optimal learning of quantum Hamiltonians from high-temperature Gibbs states

Jeongwan Haah, Robin Kothari외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 35인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고온의 겹치는 상태에서 양자 해밀토니안 계수를 학습하기 위한 최적 알고리즘을 제시한다. 표본 복잡도는 $ O(\log N / (\beta\varepsilon)^2) $ 이며, 시간 복잡도는 $ O(SN) $ 이며, 정보 이론적 하한선을 통해 최적성의 증명을 한다. 방법론은 기대값의 급수 전개와 마르코프 무작위 필드 기법을 이용한 조건부 확률 추정에 기반한다.

ABSTRACT

We study the problem of learning a Hamiltonian $H$ to precision $\varepsilon$, supposing we are given copies of its Gibbs state $ρ=\exp(-βH)/\operatorname{Tr}(\exp(-βH))$ at a known inverse temperature $β$. Anshu, Arunachalam, Kuwahara, and Soleimanifar (Nature Physics, 2021, arXiv:2004.07266) recently studied the sample complexity (number of copies of $ρ$ needed) of this problem for geometrically local $N$-qubit Hamiltonians. In the high-temperature (low $β$) regime, their algorithm has sample complexity poly$(N, 1/β,1/\varepsilon)$ and can be implemented with polynomial, but suboptimal, time complexity. In this paper, we study the same question for a more general class of Hamiltonians. We show how to learn the coefficients of a Hamiltonian to error $\varepsilon$ with sample complexity $S = O(\log N/(β\varepsilon)^{2})$ and time complexity linear in the sample size, $O(S N)$. Furthermore, we prove a matching lower bound showing that our algorithm's sample complexity is optimal, and hence our time complexity is also optimal. In the appendix, we show that virtually the same algorithm can be used to learn $H$ from a real-time evolution unitary $e^{-it H}$ in a small $t$ regime with similar sample and time complexity.

연구 동기 및 목표

• 고온에서의 겹치는 상태 복사본으로부터 알려지지 않은 해밀토니안 계수를 학습하기 위한 표본 및 시간 효율적인 알고리즘을 개발한다.
• 기하학적으로 국소적인 해밀토니안에 대한 이전 연구를 더 넓은 범주인 저교차 해밀토니안으로 확장한다.
• 표본 복잡도에 대한 날카로운 하한선을 설정하고, 정보 이론적 하한선을 통해 최적성을 입증한다.
• 표본 복잡도의 최적성에 기반하여 시간 복잡도가 최적임을 입증한다.
• 작은 $ t $ 영역에서 실시간 진동 단위행렬 $ e^{-itH} $ 로부터의 학습에 동일한 프레임워크가 적용 가능함을 보여준다.

제안 방법

• 로그 분할 함수의 다변수 테일러 급수 전개를 사용하여 기대값을 연결된 클러스터의 형태로 표현한다.
• 클러스터 기반 도함수를 활용하고 연결된 클러스터를 나열하여 해밀토니안 계수를 추정한다.
• 모멘트 매칭에서 유도된 연립방정식을 해결하기 위해 뉴턴-라프슨 방법을 적용하여 표본 크기 선형 시간 내 수렴을 보장한다.
• 표본에서의 경험 빈도를 이용해 스핀 구성의 조건부 확률을 추정하며, 체르노프 유사 농도 불등식을 통해 오차 한계를 도출한다.
• 겹치는 상태의 마르코프 무작위 필드 표현으로 문제를 단순화하고 국소 마르코프 성질을 활용한다.
• 이웃 영역 기반의 재귀적 분해를 통해 조건부 기대값을 이용해 개별 해밀토니안 계수를 분리한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고온의 겹치는 상태에서 양자 해밀토니안을 학습할 때 최적의 표본 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 표본 복잡도를 유지하면서 시간 복잡도를 표본 크기 선형으로 만들 수 있는가?
• RQ3 제안된 알고리즘의 표본 복잡도는 날카로운가? 하한선으로 이를 따라할 수 있는가?
• RQ4 작은 $ t $ 영역에서 실시간 진동 단위행렬 $ e^{-itH} $ 로부터의 학습에 이 프레임워크는 어떻게 확장되는가?
• RQ5 기하학적으로 국소적인 해밀토니안을 초월하여 저교차 클래스로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 표본 복잡도 $ S = O(\log N / (\beta\varepsilon)^2) $ 를 달성하며, 로그 인자 외에는 최적이다.
• 시간 복잡도는 $ O(SN) $ 으로 표본 크기 선형이며, 표본 복잡도의 최적성에 기반해 최적임을 입증한다.
• $ \ell_\infty $ 와 $ \ell_2 $ 오차 모두에 대해 일치하는 정보 이론적 하한선이 확립되어 표본 복잡도의 최적성이 확인된다.
• 유사한 복잡도로 동일한 알고리즘 프레임워크를 실시간 진동 단위행렬 $ e^{-itH} $ 로부터의 해밀토니안 학습에 응용할 수 있다.
• 해밀토니안 학습은 겹치는 상태의 마르코프 무작위 필드 표현에서 조건부 확률 추정에 기반하며, 농도 불등식을 통해 오차 한계를 도출한다.
• 실패 확률과 시스템 크기에 대한 로그 의존성을 고려할 때 $ O(\exp(2\beta(Ld)d + Ld + 4\beta d + 2\beta\varepsilon) / (\beta^2\varepsilon^2)) $ 개의 표본으로 충분하며, 이는 로그적 의존성을 포함한다.