[논문 리뷰] Optimal Lojasiewicz-Simon inequalities and Morse-Bott Yang-Mills energy functions

Paul M. N. Feehan|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 28.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 64인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 다양체 위의 모어스–보트 양–밀스 에너지 함수에 대해 최적의 뢰자위에비치–시몬 경사 부등식을 수립하며, 이전에 헤시안 행렬이 인덱스 0인 프레드홀름 연산자여야 한다는 조건을 제거한다. 자기를 반사하는 연결점과 평탄한 연결점 주변에서 각각 자기 dual 및 전체 양–밀스 에너지 함수에 대해 최적의 부등식을 증명하고, d ≥ 2인 경우 비판적 $L^{d/2}$-곡률 지수로 우렌벡의 평탄한 연결점 존재 결과를 확장한다. 결과적으로 모어스–보트 구조와 경사 흐름의 지수 수렴성을 확인한다.

ABSTRACT

For any compact Lie group $G$ and closed, smooth Riemannian manifold $(X,g)$ of dimension $d\geq 2$, we extend a result due to Uhlenbeck (1985) that gives existence of a flat connection on a principal $G$-bundle over $X$ supporting a connection with $L^p$-small curvature, when $p>d/2$, to the case of a connection with $L^{d/2}$-small curvature. We prove an optimal Lojasiewicz-Simon gradient inequality for abstract Morse-Bott functions on Banach manifolds, generalizing an earlier result due to the author and Maridakis in arXiv:1510.03817. We apply this result to prove the optimal Lojasiewicz-Simon gradient inequality for the self-dual Yang-Mills energy function near regular anti-self-dual connections over closed Riemannian four-manifolds and for the full Yang-Mills energy function over closed Riemannian manifolds of dimension $d \geq 2$, when known to be Morse-Bott at a given Yang-Mills connection. We also prove the optimal Lojasiewicz-Simon gradient inequality by direct analysis near a given flat connection that is a regular point of the curvature map. We also prove the Morse-Bott property for irreducible Yang-Mills $U(n)$ connections over Riemann surfaces and hence a new proof of the optimal Lojasiewicz-Simon gradient inequality for such critical points.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 다양체 위의 추상적인 모어스–보트 함수에 대해 헤시안 행렬이 인덱스 0인 프레드홀름 연산자여야 한다는 조건 없이 최적의 뢰자위에비치–시몬 경사 부등식을 수립하는 것.
• d ≥ 2인 경우 비판적 $L^{d/2}$-곡률 지수로 우렌벡의 평탄한 연결점 존재 결과를 확장하는 것.
• 닫힌 4차원 다양체에서 자기 dual 양–밀스 에너지 함수가 자기를 반사하는 연결점 주변에서 최적의 뢰자위에비치–시몬 부등식을 증명하는 것.
• 에너지 함수가 모어스–보트일 경우, 평탄한 연결점과 임의의 양–밀스 연결점 주변에서 전체 양–밀스 에너지 함수에 대해 최적의 부등식을 수립하는 것.
• 에너지 함수가 평탄한 연결점에서 모어스–보트 성질을 가짐을 확인하는 것. 이때 곡률 사상의 정규점으로서의 성질을 가진다.

제안 방법

• 유한차원 축소를 피하기 위해 직접 분석을 사용하여 바나흐 다양체 위의 $C^2$ 모어스–보트 함수에 대해 최적의 뢰자위에비치–시몬 경사 부등식을 유도한다.
• 추상 부등식을 닫힌 4차원 다양체에서 자기 dual 양–밀스 에너지 함수에 적용하여 자기를 반사하는 연결점 주변에서 최적의 부등식을 증명한다.
• 직접 분석을 통해 평탄한 연결점 주변에서 전체 양–밀스 에너지 함수에 대해 최적의 부등식을 증명하고, 기울기 단면의 전치성에 의해 모어스–보트 구조를 확립한다.
• 헤시안 연산자 $\operatorname{\mathscr{Y}\!\!\mathscr{M}}^{\prime\prime}(A_{\infty}) = d_{A_{\infty}}^*d_{A_{\infty}}$ 를 활용하고 그 핵과 상을 분석하여 모어스–보트 조건을 검증한다.
• L^2-대칭과 호지 분해를 적용하여 $A_{\infty}$ 가 평탄하고 자기를 반사하는 대칭이 없을 경우 $\mathbf{H}_{A_{\infty}}^2 = \{0\}$ 임을 보이고, 이는 부드러운 임계 집합임을 의미한다.
• 차원 2에서 $\star: \Omega^p(\operatorname{ad}P) \to \Omega^{2-p}(\operatorname{ad}P)$ 의 동형사상으로 코homology 군을 연결하여 조화 형식이 자명함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헤시안 행렬이 인덱스 0인 프레드홀름 연산자여야 한다는 가정 없이, 바나흐 다양체 위의 모어스–보트 함수에 대해 최적의 뢰자위에비치–시몬 경사 부등식을 증명할 수 있는가?
• RQ2 d ≥ 2 인 경우, 우렌벡의 평탄한 연결점 존재 정리가 비판적 $L^{d/2}$-곡률 지수로 확장되는가?
• RQ3 자기 dual 양–밀스 에너지 함수는 자기를 반사하는 연결점 주변에서 모어스–보트인가? 그리고 최적의 뢰자위에비치–시몬 부등식을 만족하는가?
• RQ4 에너지 함수가 모어스–보트일 경우, 곡률 사상 $A \mapsto F_A$ 가 평탄한 연결점에서 정규점일 때 전체 양–밀스 에너지 함수가 평탄한 연결점 주변에서 최적의 뢰자위에비치–시몬 부등식을 만족하는가?
• RQ5 헤시안 행렬이 인덱스 0인 프레드홀름 연산자로 가정하지 않을 경우, 주어진 양–밀스 연결점에서 양–밀스 에너지 함수가 모어스–보트인가?

주요 결과

• 논문은 헤시안 행렬이 인덱스 0인 프레드홀름 연산자여야 한다는 조건 없이, 바나흐 다양체 위의 추상적인 모어스–보트 함수에 대해 최적의 뢰자위에비치–시몬 경사 부등식을 증명한다.
• 우렌벡의 결과를 확장하여, d ≥ 2 인 닫힌 다양체에서 $W^{1,d/2}$ 연결점 중 곡률가 $L^{d/2}$-소작인 경우 평탄한 연결점이 존재함을 보인다.
• 자기 dual 양–밀스 에너지 함수는 닫힌 4차원 다양체에서 자기를 반사하는 연결점 주변에서 최적의 뢰자위에비치–시몬 부등식을 만족한다.
• 에너지 함수가 모어스–보트일 경우, 곡률 사상 $A \mapsto F_A$ 가 평탄한 연결점에서 정규점인 경우 전체 양–밀스 에너지 함수는 평탄한 연결점 주변에서 최적의 뢰자위에비치–시몬 부등식을 만족하며, 이는 모어스–보트 구조를 확인한다.
• 에너지 함수의 임계 집합은 $\mathbf{H}_{A_{\infty}}^2 = \{0\}$ 일 경우 평탄한 연결점 $A_{\infty}$ 근처에서 부드러운 부분다양체이다. 이는 $A_{\infty}$ 가 자기를 반사하는 대칭이 없고 $\dim X = 2$ 일 경우 성립한다.
• 임계 집합의 접공간은 $T_{A_{\infty}}\operatorname{Crit}\mathscr{Y}\!\!\mathscr{M} = \ker \mathscr{Y}\!\!\mathscr{M}^{\prime\prime}(A_{\infty})$ 로 주어지며, 이는 모어스–보트 성질을 확인한다.