[논문 리뷰] Optimal Parisian-type dividends payments discounted by the number of claims for the perturbed classical risk process

Irmina Czarna, Yanhong Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 22.

Probability and Risk Models참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 파리시 파산과 청구 건수에 의존하는 할인을 고려한 흐트러진 고전적 위험 과정에서 최적의 배당 전략을 연구한다. 보행 전략 하에서의 가치 함수를 특성화하고 최적성에 대한 충분조건을 도출하며, 지수 분포 청구 크기의 경우 명시적 해를 제공하여, 파리시 지연이 있을 경우 최적의 보행 수준이 이동함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we consider a classical risk process perturbed by a Brownian motion. We analyze the value function describing the mean of the cumulative discounted dividend payments paid up to Parisian ruin time and further discounted by the number of claims appeared up to this ruin time. We identify this value function for the barrier strategy and find the sufficient conditions for this strategy to be optimal. We also consider few particular examples.

연구 동기 및 목표

• 브라운 운동에 의해 흐트러지는 위험 과정에서의 배당 지급을 모델링하며, 파리시 파산과 청구 건수에 의존하는 할인을 통합한다.
• 파리시 파산까지의 누적 할인된 배당을 나타내는 가치 함수를 분석하며, 청구 건수에 의해 추가적으로 가중치를 부여한다.
• 충분한 조건 하에서 보행 전략이 최적임을 규명하고, 고전적 결과를 더 현실적인 파산 및 할인 프레임워크로 확장한다.
• 청구 크기가 지수 분포일 경우 가치 함수에 대한 명시적 해를 제공한다.
• 수치 예제를 통한 검증과 HJB 방정식의 확인을 통해 보행 전략의 최적성을 검증한다.

제안 방법

• 큰 청구에 대한 복합 포아송 과정과 작은 변동에 대한 브라운 운동을 조합한 순자산 과정을 설정한다.
• 파리시 파산을 순자산이 연속적인 기간 $ d \geq 0 $ 동안 음수로 머무르는 첫 번째 시점으로 정의하며, 고전적 파산($ d = 0 $)을 일반화한다.
• 파산 시점까지의 청구 건수 $ N_{\tau^{\pi,d}} $에 의해 할인되는 누적 배당을 고려한 가치 함수를 정의한다.
• 보행 전략의 최적성에 필요한 조건을 도출하기 위해 해밀턴-자코비-벨리만(Hamilton-Jacobi-Bellman, HJB) 방정식 프레임워크를 적용한다.
• 지수 분포 청구 크기의 경우 가치 함수를 구하기 위해 적분 변환과 반복 콘볼루션 기법을 사용한다.
• 수치적 검증을 위해 $ (\Gamma - q)v \leq 0 $ 를 확인하여 유도된 보행 수준의 최적성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파리시 파산을 도입함으로써 흐트러진 고전적 위험 모델에서 최적의 배당 전략에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 파산까지의 청구 건수에 의해 할인되는 배당이 최적 전략과 가치 함수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 파리시 파산과 청구 건수 할인이 모두 고려될 경우, 보행 전략이 최적일 조건은 무엇인가?
• RQ4 파리시 지연 매개변수 $ d $ 가 증가함에 따라 최적의 보행 수준은 어떻게 변화하는가?
• RQ5 청구 크기가 지수 분포일 경우 가치 함수에 대한 명시적 해를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 파리시 파산의 경우 $ d = 0 $ (고전적 파산)와 $ d > 0 $ (파리시 파산) 모두에 대해 보행 전략 하의 가치 함수가 명시적으로 유도되었다.
• 지수 분포 청구 크기의 경우, 가치 함수의 구성 요소 $ \vartheta(x) $ 와 $ \varrho(x) $ 는 수정된 베ssel 함수와 지수 적분을 포함하는 무한 급수로 표현된다.
• 파rameter 집합 $ \lambda = 10, \mu = 1, c = 15, q = 0.1, r = 0.8 $ 하에서, $ d = 0 $ 인 경우 최적의 보행 수준은 수치적으로 $ a^* \approx 0.7693 $ 으로 구해졌고, $ d = 2 $ 인 경우 $ b^* \approx 0.52202 $ 로 도출되었다.
• 두 경우 모두 $ (\Gamma - q)v \leq 0 $ 조건이 만족되어 HJB 검증 정리에 의해 최적성이 확인되었다.
• 청구 건수 할인을 통합함으로써 고전 모델 대비 최적의 보행 수준이 감소함을 확인하였으며, 이는 높은 청구 빈도에 대한 보다 큰 처벌을 반영한다.
• 수치 결과는 실무적 위험 관리 적용을 위한 알고리즘의 실현 가능성을 확인한다.