[논문 리뷰] Optimal Portfolio under Fractional Stochastic Environment

Jean‐Pierre Fouque, Ruimeng Hu|RePEc: Research Papers in Economics|2017. 03. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 느리게 변화하는 분수 오르누하임-울렌벡 과정에 의해 구동되는 비마르코프성 분수 스토하스틱 환경에서 渐近적으로 최적의 포트폴리오 전략을 개발한다. 거듭제곱 유용성 함수에 대해 마링게일 왜곡을 사용하여 최적의 가치 함수의 일阶 근사식을 유도하고, 모든 $ H \in (0,1) $ 에 대해 고정된 영차수 거래 전략이 渐近적으로 최적임을 보여준다. 보정 항은 $ \delta^H $ 차수를 가진다.

ABSTRACT

Rough stochastic volatility models have attracted a lot of attentions recently, in particular for the linear option pricing problem. In this paper, starting with power utilities, we propose to use a martingale distortion representation of the optimal value function for the nonlinear asset allocation problem in a (non-Markovian) fractional stochastic environment (for all Hurst index $H \in (0,1)$). We rigorously establish a first order approximation of the optimal value, where the return and volatility of the underlying asset are functions of a stationary slowly varying fractional Ornstein-Uhlenbeck process. We prove that this approximation can be also generated by a fixed zeroth order trading strategy providing an explicit strategy which is asymptotically optimal in all admissible controls. Furthermore, we extend the discussion to general utility functions, and obtain the asymptotic optimality of this fixed strategy in a specific family of admissible strategies.

연구 동기 및 목표

• 비마르코프성 분수 스토하스틱 환경에서 느리게 변화하는 변동성 하에서 비선형 최적 포트폴리오 문제를 다루기 위해.
• 머튼의 포트폴리오 최적화 프레임워크를 허스트 지수 $ H \in (0,1) $ 를 가진 거친 분수 스토하스틱 변동성(RFSV) 모델로 확장하기 위해.
• 변동성 요인이 천천히 변화할 때(작은 $ \delta $) 가치 함수와 최적 전략에 대한 엄밀한 渐近 근사식을 수립하기 위해.
• 거듭제곱 유용성 함수의 경우 고정된 영차수 거래 전략이 渐近적으로 최적임을 보여주기 위해.
• 동일한 고정 전략 프레임워크를 사용하여 특정 일반 유용성 함수 클래스로의 渐近 최적성 결과를 일반화하기 위해.

제안 방법

• 거듭제곱 유용성 함수에 대해 분수 스토하스틱 환경에서 최적 가치 함수를 표현하기 위해 마링게일 왜곡 표현을 활용한다.
• 초기 값 $ Z^{\delta,H}_0 $ 에서 고정된 변동성 주변으로 마링게일 왜곡을 전개하여 $ \delta^H $ 차수의 일계 보정을 도출한다.
• 느리게 변화하는 확률적 요인을 허스트 지수 $ H \in (0,1) $ 를 가진 분수 오르누하임-울렌벡(fOU) 과정으로 모델링하며, 분수 브라운 운동에 의해 구동된다.
• 비마르코프성 동역학을 다루고 渐近 근사식을 도출하기 위해 이psilon-마링게일 분해 방법을 적용한다.
• 빠른 요소와 느린 요소 사이의 시간 스케일 분리 개념을 반영하여 소수 파arameter $ \delta $ 를 기반으로 한 편미분 방법을 사용한다.
• 성장성과 적분 가능성에 대한 가정을 통해 핵심 항목들에 대한 균일한 경계를 확립하여 渐近 전개의 타당성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비마르코프성 분수 스토하스틱 환경에서 느리게 변화하는 변동성 하에서 고정된 영차수 거래 전략이 渐近적으로 최적일 수 있는가?
• RQ2 변동성이 허스트 지수 $ H \in (0,1) $ 를 가진 분수 오르누하임-울렌벡 과정에 의해 구동될 경우, 거듭제곱 유용성 함수 하에서 최적 가치 함수는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 소수 $ \delta $ 영역에서 최적 가치 함수의 일계 보정 항의 주요 크기는 어느 정도인가?
• RQ4 일반 유용성 함수에 대해 가치 함수의 渐近 근사식이 유효한 조건는 무엇인가?
• RQ5 허스트 지수 $ H $ 는 渐近 전략의 수렴 속도에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 최적 가치 함수는 $ \delta^H $ 에 대한 일계 근사식을 가진다. 주요 항은 마링게일 왜곡 표현을 통해 유도된다.
• 일계 보정 항은 $ \delta^H $ 차수이며, 주어진 가정 하에서 균일하게 유계이다.
• 거듭제곱 유용성 함수의 경우 고정된 영차수 거래 전략은 渐近적으로 최적이다. 즉, 진정한 최적 전략과 동일한 주요 성능을 달성한다.
• 일반 유용성 함수의 경우, 적절한 유계 조건 하에서 동일한 고정 전략은 특정 가용 전략 가족 내에서 渐近적으로 최적이다.
• 값 함수의 근사 오차는 $ \delta^{H \wedge \alpha} $ 차수이며, 여기서 $ \alpha $ 는 변동성 과정의 적분 가능성과 관련된다.
• 비마르코프적 설정에서 이psilon-마링게일 분해의 엄밀한 정당화를 제공하여, 이 방법의 적용 범위를 옵션 가격 설정과 같은 선형 문제를 넘어서 확장한다.