[논문 리뷰] Optimal Stopping under G-expectation

Hanwu Li|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 볼atility 불확실성 등 케이트니안 불확실성을 다루기 위해 G-기대에 대한 최적 정지 이론을 수립하며, G-정지 시간을 도입하여 이를 해결한다. 가치 함수가 수익 과정을 지배하는 최소 G-상위마팅게일임을 증명하고, 반사 G-BSDE와의 연관성을 제시하며, 이는 이산 및 연속, 무한 시간 영역으로의 결과 확장에 이르르며 최적 정지 시간의 존재성을 보장한다.

ABSTRACT

We develop a theory of optimal stopping problems under G-expectation framework. We first define a new kind of random times, called G-stopping times, which is suitable for this problem. For the discrete time case with finite horizon, the value function is defined backwardly and we show that it is the smallest G-supermartingale dominating the payoff process and the optimal stopping time exists. Then we extend this result both to the infinite horizon and to the continuous time case. We also establish the relation between the value function and solution of reflected BSDE driven by G-Brownian motion.

연구 동기 및 목표

• 케이트니안 불확실성, 특히 볼atility 모호성을 모델링하기 위해 G-기대 하에서 최적 정지 이론을 개발한다.
• 시간 일致성과 조건부 G-기대 성질을 유지하는 새로운 유형의 랜덤 시간인 G-정지 시간을 정의한다.
• 기본적인 최적 정지 프레임워크—가치 함수가 최소 상위마팅게일임을 전제로 하되, 비선형 G-프레임워크로 확장한다.
• 가치 함수와 G-브라운 운동에 의해 구동되는 반사 후방 확률미분방정식(BSDE)의 해 사이의 연결 고리를 설정한다.
• 최적 정지 시간의 존재성을 증명하고, 이산, 무한, 연속 시간 설정에서 가치 함수를 특성화한다.

제안 방법

• G-기대에 적합한 정지 시간의 일반화로 G-정지 시간을 도입하여 조건부 G-기대가 잘 정의되도록 보장한다.
• 이산 유한 시간 영역 설정에서 가치 함수를 역행적으로 정의하고, 수익 과정을 지배하는 최소 G-상위마팅게일임을 보여준다.
• 유한 시간 가치 함수의 극한을 통해 무한 시간 영역으로 가치 함수를 확장하며, 최소 G-상위마팅게일 성질을 유지한다.
• 가장소 과정 X를 장애물로 하는 반사 G-BSDE의 해와 가치 함수 사이의 연결 고리를 설정한다. 여기서 해 Y는 장애물 과정 X를 지배하는 G-상위마팅게일이다.
• Hu, Ji, Peng, Song의 G-BSDE 및 반사 G-BSDE의 존재성 및 유일성 이론을 활용하여 해 구조의 타당성을 뒷받침한다.
• Girsanov 변환과 G-BSDE의 비교 정리를 활용하여 시간 일치성과 최적성의 성질을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클래식 정지 시간이 준거확실 측도성 및 조건부 기대의 문제로 인해 실패할 경우, G-기대 하에서 최적 정지 문제를 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 G-프레임워크에서 시간 일치성과 역행적 유도를 유지할 수 있는 정지 시간의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ3 기본 사례와 마찬가지로 G-프레임워크에서 가치 함수도 수익 과정을 지배하는 최소 G-상위마팅게일인가?
• RQ4 가치 함수는 반사 G-BSDE의 해로 특성화될 수 있으며, 반사 과정은 최적성에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 G-기대 하에서 유한 시간에서 무한 및 연속 시간 영역으로 결과가 어떻게 확장되는가?

주요 결과

• 이산 유한 시간 영역에서의 가치 함수는 수익 과정을 지배하는 최소 G-상위마팅게일이며, 역행적 유도를 통해 도출된다.
• 무한 시간 영역에서의 가치 함수는 유한 시간 가치 함수의 극한으로 정의되며, 여전히 수익 과정을 지배하는 최소 G-상위마팅게일이다.
• 최적 정지 시간이 존재하며, 이는 G-정지 시간이며, 가치 과정은 정지 시점까지 G-마팅게일이다.
• 가치 함수는 장애물 과정 X를 갖는 반사 G-BSDE의 해의 첫 번째 성분 Y와 일치하며, 여기서 Y는 X를 지배하는 G-상위마팅게일이다.
• 생성자, 장애물, 종료 조건에 표준 조건이 만족될 경우 반사 G-BSDE의 해는 존재하고 유일하며, Y ∈ S_G^α(0,T) for 2 ≤ α < β 이다.
• 볼atility 불확실성 하에서도 G-프레임워크 하에서 가치 함수의 최소 G-상위마팅게일 성질이 유지된다.