[논문 리뷰] Optimal tracking for dynamical systems

Kevin McGoff, Andrew B. Nobel|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 19.

Statistical Methods and Inference인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 동적 시스템의 최적 추적 문제에서 한계 평균 비용을 역학적 불변 결합(조인잉)을 통해 변분적 특성화하고, 최적 조인잉의 집합이 볼록이고 컴act하다는 것을 증명한다. 이는 통계적 추론에 대한 일반 수렴 정리를 도출하여, 양자화된 에르고딕 관측에서의 회귀 추정 및 시스템 식별에 대한 일致성 결과를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study the limiting behavior of the average per-state cost when trajectories of a topological dynamical system are used to track a trajectory from an observed ergodic system. We establish a variational characterization of the limiting average cost in terms of dynamically invariant couplings, also known as joinings, of the two dynamical systems, and we show that the set of optimal joinings is convex and compact in the weak topology. Using these results, we establish a general convergence theorem for the limiting behavior of statistical inference procedures based on optimal tracking. The setting considered here is general enough to encompass traditional statistical problems with weakly dependent, real-valued observations. As applications of the general inference result, we consider the consistency of regression estimation under ergodic sampling and of system identification from quantized observations.

연구 동기 및 목표

• 관측된 에르고딕 시스템에서의 궤적을 최적 추적하는 데 있어, 위상적 동적 시스템의 궤적을 사용하여 한계 평균 비용을 특성화하기.
• 약한 위상에서 최적 조인잉의 집합이 볼록성과 컴팩트성을 갖는다는 것을 증명하기.
• 최적 추적에 기반한 통계적 추론 절차를 위한 일반 수렴 정리를 개발하기.
• 에르고딕 샘플링 하에서의 회귀 추정에 대한 일치성 결과를 증명하기 위해 일반 추론 결과를 적용하기.
• 양자화된 관측에서의 시스템 식별으로 이 프레임워크를 확장하기.

제안 방법

• 위상적 동적 시스템의 궤적을 통해 상태당 평균 비용을 최소화하는 방식으로 추적 문제를 수립하기.
• 관측 시스템과 추적 시스템 간의 역학적 불변 결합(조인잉)을 사용하여 한계 비용을 특성화하기.
• 변분 원리를 적용하여 최소 한계 비용을 모든 조인잉에 대한 하한값으로 표현하기.
• 위상적 및 측도론적 추론을 사용하여 약한 위상에서 최적 조인잉의 집합이 볼록하고 컴팩트하다는 것을 증명하기.
• 최적 조인잉의 컴팩트성과 볼록성을 활용하여 최적 추적에 기반한 통계 절차의 일반 수렴 정리를 도출하기.
• 특정 추론 문제, 즉 에르고딕 샘플링 하의 회귀 및 양자화된 데이터로부터의 시스템 식별에 일반 프레임워크를 적용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동적 시스템의 최적 추적에서 한계 평균 비용의 변분적 특성화는 무엇인가?
• RQ2 역학적 불변 결합(조인잉)은 최적 추적 비용과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 최적 조인잉의 집합에 대해 성립하는 위상적 및 측도론적 성질은 무엇인가?
• RQ4 최적 추적 프레임워크는 어떻게 통계적 추론 절차의 수렴성을 확보하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 에르고딕 또는 양자화된 관측 하에서 회귀 및 시스템 식별에 대해 유도할 수 있는 일치성 결과는 무엇인가?

주요 결과

• 최적 추적에서의 한계 평균 비용은 두 시스템 간의 모든 역학적 불변 결합(조인잉)에 대한 하한값으로 변분적으로 특성화된다.
• 최적 조인잉의 집합은 약한 위상에서 볼록하고 컴팩트하므로 안정성과 수렴 성질이 보장된다.
• 최적 추적에 기반한 통계적 추론 절차를 위한 일반 수렴 정리가 확립되었으며, 약한 의존성과 실수 값을 갖는 관측에 적용 가능하다.
• 에르고딕 샘플링 하에서의 회귀 추정이 이 프레임워크 내에서 일치함을 보였다.
• 제안된 추적 및 추론 접근법을 사용하여, 양자화된 관측에서의 시스템 식별이 일치함을 증명하였다.
• 이 프레임워크는 기존의 에르고디시티 하에서의 통계적 추론 결과를 통합하고 일반화하며, 비i.i.d. 및 양자화된 관측 모델로 확장된다.