[논문 리뷰] Optimizing Variational Quantum Algorithms using Pontryagin's Minimum Principle

Zhi-Cheng Yang, Armin Rahmani외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 21.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고정된 진화 시간 하에서 조합 최적화를 위한 최적의 변분 양자 알고리즘(VQA)이 파동-파동 제어 프로토콜(제어 파arameter가 0과 1 사이에서 급격히 전환됨)을 보임을 페트리아노의 최소 원리에 기반해 증명한다. 최적의 펄스 지속 시간은 시스템 크기와 무관하며 하미르토니안의 결합 상수의 역수로 결정되며, 이는 변분 파arameter 수를 크게 줄이고 노이즈 하에서 전통적인 양자 앤날링보다 뛰어난 성능을 발휘한다.

ABSTRACT

We use Pontryagin's minimum principle to optimize variational quantum algorithms. We show that for a fixed computation time, the optimal evolution has a bang-bang (square pulse) form, both for closed and open quantum systems with Markovian decoherence. Our findings support the choice of evolution ansatz in the recently proposed Quantum Approximate Optimization Algorithm. Focusing on the Sherrington-Kirkpatrick spin-glass as an example, we find a system-size independent distribution of the duration of pulses, with characteristic time scale set by the inverse of the coupling constants in the Hamiltonian. The optimality of the bang-bang protocols and the characteristic time scale of the pulses provide an efficient parameterization of the protocol and inform the search for effective hybrid (classical and quantum) schemes for tackling combinatorial optimization problems. For the particular systems we study, we find numerically that the optimal nonadiabatic bang-bang protocols outperform conventional quantum annealing in the presence of weak white additive external noise and weak coupling to a thermal bath modeled with the Redfield master equation.

연구 동기 및 목표

• 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)에서 사용되는 사각 펄스(파동-파동) 앤사츠의 엄밀한 이론적 기반을 확립하기 위해.
• 고정된 계산 시간 하에서 변분 양자 알고리즘의 최적 제어 프로토콜을 최적 제어 이론을 사용해 규명하기 위해.
• 약한 외부 노이즈 및 열 디코herence에 대한 비단조화 파동-파동 프로토콜의 내성 분석을 위해.
• 최적 펄스 지속 시간의 시스템 크기와 무관한 특성을 규명하여 변분 파arameter 수를 줄이기 위해.
• 조합 최적화를 위한 효율적인 하이브리드 고전-양자 알고리즘 설계를 안내하기 위해.

제안 방법

• 시간에 따라 변하는 하미르토니안 $ H_g(t) = \sum_\alpha g_\alpha(t) H_\alpha $ 를 갖는 폐쇄 루프 학습 제어 문제로 VQA를 수립하며, $ g(t) \in \{0,1\} $ 이다.
• 페트리아노의 최소 원리를 적용하여 최적 제어를 위한 필요 조건을 유도하고, 최적의 $ g(t) $ 가 파동-파동임을 보여준다.
• 펄스 경계를 결정하기 위해 $ \partial \mathcal{H}/\partial g = 0 $ 의 스위칭 조건을 유도하며, 여기서 $ \mathcal{H} $ 는 최적 제어 문제의 하미르토니안이다.
• 수반 변수의 시간 진화를 사용하여 펄스 지속 시간의 동역학을 분석하며, 특히 $ g(t) = 1 $ 인 구간에서는 $ e^{-i(C_z - C_{\bar{z}(k)})(t-t_0)} $ 로 제어된다.
• 셔링턴-키크스키 스피너 거품 모델에 대한 수치 시뮬레이션을 수행하여 분석 예측을 검증한다.
• 에너지 차이 $ \Delta C_{z,k} = C_z - C_{\bar{z}(k)} $ 를 통해 펄스의 특성 시간 스케일을 분석하며, 분산은 $ \overline{\Delta C_{z,k}^2} = 4(J^2 + h^2) $ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 진화 시간 하에서 변분 양자 알고리즘에 대해 파동-파동 제어 프로토콜이 최적일까?
• RQ2 최적 프로토콜에서 개별 펄스의 지속 시간은 무엇에 의해 결정되며, 시스템 크기에 따라 달라지는가?
• RQ3 노이즈 하에서 최적의 비단조화 파동-파동 프로토콜은 전통적인 양자 앤날링보다 성능이 뛰어나게 되는가?
• RQ4 시스템 크기와 무관한 펄스 지속 시간 덕분에 최적 프로토콜을 적은 변분 파arameter로 효율적으로 매개화할 수 있는가?
• RQ5 에너지 척도 $ \sqrt{J^2 + h^2} $ 는 펄스 지속 시간의 특성 시간 스케일을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 고정된 시간 하에서 변분 양자 알고리즘의 최적 프로토콜은 파동-파동이며, 제어 파arameter가 0과 1 사이에서 급격히 전환된다.
• 최적 프로토콜의 펄스 지속 시간은 시스템 크기와 무관하며, 결합 상수의 역수로 결정되며, 특성 시간 스케일은 $ \sim 1/\sqrt{J^2 + h^2} $ 이다.
• 최적의 비단조화 파동-파동 프로토콜은 선형 램프 양자 단조화 알고리즘 대비 최종 상태 오차를 크게 감소시킨다.
• 약한 백색 가우시안 노이즈 및 약한 열 저장소에 대한 결합 하에서도 파동-파동 프로토콜은 전통적 양자 앤날링보다 성능 우위를 유지한다.
• 수치적으로 펄스 지속 시간의 분포가 시스템 크기와 무관한 것으로 확인되어, 적은 파arameter로 효율적인 고전 최적화가 가능하다고 지지된다.
• 최적 프로토콜의 각 펄스는 상호작용하는 단일 또는 이중 큐비트 항목으로 구성되며, 단일 및 이중 큐비트 게이트의 순서로 구현 가능하다.