[논문 리뷰] Optional splitting formula in a progressively enlarged filtration

Shiqi Song|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 점진적으로 확장된 필터레이션에서의 선택적 분할 공식의 타당성을 위한 충분조건을 확립한다. 이는 신용 리스크 모델링에서 핵심적인 도구이다. 조건부 밀도 가정 하에, 이 공식이 다중 랜덤 타임에 대해 성립함을 증명함으로써, 확장된 필터레이션에서의 semimartingale 및 martingale 분해에 오랫동안 지속된 가측성 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}$ be a filtration and $τ$ be a random time. Let $\mathbb{G}$ be the progressive enlargement of $\mathbb{F}$ with $τ$. We study the validity of the following formula, called optional splitting formula : For any $\mathbb{G}$-optional process $Y$, there exist a $\mathbb{F}$-optional process $Y'$ and a function $Y"$ defined on $[0,\infty] imes(\mathbb{R}_+ imesΩ)$ being $\mathcal{B}[0,\infty]\otimes\mathcal{O}(\mathbb{F})$ measurable, such that $$ Y=Y'\ind_{[0,τ)}+Y"(τ)\ind_{[τ,\infty)} $$ We are interested in this formula, because it has been taken for granted in number of recent works in credit risk modeling, whilst such a formula can not be true in general. Sufficient conditions will be given for the validity of the above formula as well as of its extension in the case of multiple random times.

연구 동기 및 목표

• 선택적 분할 공식이 점진적으로 확장된 필터레이션에서 성립하는 조건을 명확히 하는 것.
• 특히 신용 리스크 모델링 맥락에서 공식의 유효 범위에 대한 모호함을 해결하는 것.
• 공식의 타당성을 위한 실용적인 충분조건—구체적으로 조건부 밀도 가정—을 제공하는 것.
• 선택적 분할 공식을 필터레이션 확장 이론에서의 기본적인 가측성 질문과 연결하는 것.
• 이전의 주요 논문들([9, 14, 27, 28, 31])에서 공식이 기본적인 밀도 가정 덕분에 성립함을 보여주는 것.

제안 방법

• 논문은 랜덤 타임 τ에 의한 필터레이션 𝔽의 점진적 확장을 분석하고, 이를 통해 유도된 필터레이션 𝔾를 정의한다.
• 선택적 분할 공식을 도입한다: 임의의 𝔾-옵셔널 과정 Y에 대해, 𝔽-옵셔널 과정 Y′과 연속적으로 가측인 함수 Y′′가 존재하여 Y = Y′1_{[0,τ)} + Y′′(τ)1_{[τ,∞)} 를 만족시킨다.
• 분석은 매개변수화된 옵셔널 프로젝션과 ℱ∞에 대한 밀도 γ*를 갖는 랜덤 측도 ν의 사용에 기반한다.
• 밀도 가정 하에, 조건부 기대값 𝔼[h(ξ₁,τ₁)|𝒢ₜ]이 프로젝션의 오른쪽 연속 경로 성질을 통해 선택적 분할 공식을 만족함을 증명한다.
• 같은 프로젝션 및 밀도 논증을 사용하여, 다중 마킹된 타임 (ξᵢ,τᵢ)에 대해 유도법을 통해 확장한다.
• 결과는 ℱ∞-가측 랜덤 측도로 일반화되고, 종단 σ-대거 𝒢∞−로 확장된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점진적으로 확장된 필터레이션에서 선택적 분할 공식이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 왜 이 공식은 일반적으로 성립하지 않으며, 정확한 가측성 제약 조건은 무엇인가?
• RQ3 조건부 밀도 가정은 어떻게 선택적 분할 공식의 타당성을 보장하는가?
• RQ4 선택적 분할 공식과 신용 리스크 모델에서의 예측 가능 이중 프로젝션 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 공식은 다중 랜덤 타임으로 확장될 수 있으며, 어떤 가정 하에 가능한가?

주요 결과

• 조건부 밀도 가정이 ℱ∞에 대해 만족될 경우, 단일 랜덤 타임 τ에 대해 선택적 분할 공식이 성립한다.
• 다중 마킹된 타임 ((ξ₁,τ₁),…,(ξₘ,τₘ))에 대해선 ℱ∞에 대한 공동 밀도 가정 하에 공식이 성립한다.
• 이 공식은 여러 주요 신용 리스크 논문들([9, 14, 27, 28, 31])에서도 기본적인 밀도 가정 덕분에 성립한다.
• h(x,u)γ*(x,u)의 매개변수화된 옵셔널 프로젝션은 분할 공식에서 요구되는 𝔽-옵셔널 과정의 존재를 보장한다.
• 프로젝션 과정의 오른쪽 연속성은 martingale 𝔼[h(ξ₁,τ₁)|𝒢ₜ]이 선택적 분할 공식을 만족함을 보장한다.
• 결과는 ℱ∞-가측 랜덤 측도가 밀도 γ*를 갖는 경우, 𝔾-옵셔널 과정의 일관된 분해가 가능함을 확인한다.