[논문 리뷰] On honest times in financial modeling

Ashkan Nikeghbali, Eckhard Platen|ArXiv.org|2008. 08. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 46인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 성장 최적 포트폴리오(GOP)를 네덜란드화 기준으로 사용하여, 정지 시간이 아닌 무작위 시간인 정직한 시간(honest times)을 활용한 모델 독립적 재무 모델링 프레임워크를 제안한다. 기준화된 비음성 포트폴리오의 전역 최대값과 관련된 정직한 시간의 법칙과 조건부 분포에 대한 일반 공식을 유도하며, 베ssel 과정과 연속확산 과정에 대해 명시적인 결과를 제공함으로써, 등가 위험중립 측도가 필요 없이 강력한 파생상품 가격 설정과 헤징 전략을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper demonstrates the usefulness and importance of the concept of honest times to financial modeling. It studies a financial market with asset prices that follow jump-diffusions with negative jumps. The central building block of the market model is its growth optimal portfolio (GOP), which maximizes the growth rate of strictly positive portfolios. Primary security account prices, when expressed in units of the GOP, turn out to be nonnegative local martingales. In the proposed framework an equivalent risk neutral probability measure need not exist. Derivative prices are obtained as conditional expectations of corresponding future payoffs, with the GOP as numeraire and the real world probability as pricing measure. The time when the global maximum of a portfolio with no positive jumps, when expressed in units of the GOP, is reached, is shown to be a generic representation of an honest time. We provide a general formula for the law of such honest times and compute the conditional distributions of the global maximum of a portfolio in this framework. Moreover, we provide a stochastic integral representation for uniformly integrable martingales whose terminal values are functions of the global maximum of a portfolio. These formulae are model independent and universal. We also specialize our results to some examples where we hedge a payoff that arrives at an honest time.

연구 동기 및 목표

• 정지 시간 이론이 다루지 못하는 무작위 시간인 정직한 시간을 활용한 모델 독립적 재무 모델링 프레임워크를 개발하는 것.
• 기준화된 비음성 포트폴리오가 전역 최대값에 도달하는 시점이 일반적인 정직한 시간임을 보여주어 투자자와 리스크 관리자에게 새로운 도구를 제공하는 것.
• 특정 시장 역학에 의존하지 않는, 이러한 정직한 시간의 법칙과 조건부 분포에 대한 명시적이고 일반적인 공식을 도출하는 것.
• 기준화된 포트폴리오의 전역 최대값에 종속하는 종료값을 가지는 유일한 적분 가능 마틴갈이 정의되는 스토크라스틱 적분 표현을 제공함으로써 강력한 헤징 전략을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 모든 기준화된 비음성 포트폴리오가 국소 마틴갈이 되는 조건 하에 성장 최적 포트폴리오(GOP)를 네덜란드화 기준으로 사용한다.
• 스토크라스틱 분석에서 정직한 시간 이론을 적용하며, 특히 국소 마틴갈이 최댓값에 도달하는 마지막 통과 시간을 통해 특성화한다.
• 순환 확산 과정의 척도 함수와 무한소 생성자(infinitesimal generator)를 사용하여 정직한 시간의 라플라스 변환을 유도한다.
• δ=3 차원의 제곱 베셀 과정에 대해, 역 라플라스 변환을 사용하여 정직한 시간의 명시적 밀도 공식을 유도한다.
• 척도 함수와 최소 과정을 사용하여 정직한 시간의 조건부 생존 확률에 대한 일반 공식을 수립한다.
• 등가 위험중립 측도가 필요 없도록 벤치마크 접근법을 적용하여 실제 세계에서의 파생상품 가격 설정을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음성 기준화된 포트폴리오가 전역 최대값에 도달하는 시점의 분포는 무엇이며, 이를 다양한 모델 간에 일반적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 기준화된 포트폴리오의 전역 최대값에 대한 조건부 분포를 모델 독립적으로 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 기준화된 포트폴리오의 전역 최대값에 종속하는 종료값을 가지는 유일한 적분 가능 마틴갈의 스토크라스틱 적분 표현은 무엇인가?
• RQ4 정직한 시간의 법칙을 확산 과정의 척도 함수와 무한소 생성자로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ5 예를 들어 δ=3 차원의 제곱 베셀 과정과 같은 특정 모델에서 정직한 시간의 밀도에 대한 명시적 공식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• δ=3 차원의 제곱 베셀 과정에 대해, 정직한 시간 g는 t ≥ 0 이고 초기 수준 R₀² = x > 0 일 때, 밀도 함수 p(t) = (1/√(2πxt)) * (1 - exp(-x/(2t))) 를 갖는다.
• 정직한 시간 g의 라플라스 변환은 E[exp(-λg)] = (2/√(2λx)) * exp(-√(2λx)/2) * sinh(√(2λx)/2) 로 주어지며, 이는 역 라플라스 변환을 통해 명시적 밀도로 이어진다.
• 조건부 생존 확률 P(g > t | Fₜ) = s(Yₜ)/s(Zₜ) 이며, 여기서 Zₜ는 과정의 누적 최소값이고 s는 척도 함수이다.
• 일반적인 순환 확산 Y에 대해, g의 라플라스 변환은 E[exp(-λg)] = -∫₀ˣ (s′(u)/s(u)) * (φₗ(x)/φₗ(u)) du 로 주어지며, 여기서 φₗ는 Gφₗ = λφₗ 를 만족하는 고유값 방정식의 해이다.
• 이 프레임워크는 등가 위험중립 측도의 존재를 가정하지 않고도 파생상품 가격 설정과 헤징을 가능하게 하며, 이를 위해 GOP를 벤치마크로 사용한다.
• 결과는 일반적이며 모델 독립적이며, 기준화된 포트폴리오가 비음성 국소 마틴갈이 되는 모든 점프-확산 시장에 적용 가능하다.