[논문 리뷰] Orders induced by segments in floorplan partitions and (2-14-3,3-41-2)-avoiding permutations

Andrei Asinowski, Gill Barequet외 3명|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 08.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 플로어플랜 내의 세그먼트 기반 순서와 (2-14-3, 3-41-2)-회피 순열 사이의 전단사 관계를 수립하며, 이러한 순열이 완전한 백서터 순열의 '짝수 부분'임을 증명한다. 새로운 패턴 회피 순열의 가족을 도입하고, 금지된 패턴을 통해 그들을 특성화하며, 수를 세어내며, 세그먼트 순서와 사각형 순서의 중첩을 통해 잘 알려진 백서터 순열과 직접적인 연결을 드러낸다.

ABSTRACT

A floorplan is a tiling of a rectangle by rectangles. There are natural ways to order the elements---rectangles and segments---of a floorplan. Ackerman, Barequet and Pinter studied a pair of orders induced by neighborhood relations between rectangles, and obtained a natural bijection between these pairs and (2-41-3, 3-14-2)-avoiding permutations, also known as (reduced) Baxter permutations. In the present paper, we first perform a similar study for a pair of orders induced by neighborhood relations between segments of a floorplan. We obtain a natural bijection between these pairs and another family of permutations, namely (2-14-3, 3-41-2)-avoiding permutations. Then, we investigate relations between the two kinds of pairs of orders---and, correspondingly, between (2-41-3, 3-14-2)- and (2-14-3, 3-41-2)-avoiding permutations. In particular, we prove that the superposition of both permutations gives a complete Baxter permutation (originally called w-admissible, by Baxter and Joichi in the sixties). In other words, (2-14-3, 3-41-2)-avoiding permutations are the hidden part of complete Baxter permutations. We enumerate these permutations. To our knowledge, the characterization of these permutations in terms of forbidden patterns and their enumeration are both new results. Finally, we also study the special case of the so-called guillotine floorplans.

연구 동기 및 목표

• 플로어플랜 내 세그먼트 이웃 관계에 의해 유도되는 두 순서 사이의 자연스러운 전단사 관계를 수립하기.
• 세그먼트에 의해 유도된 순열과 이전에 연구된 사각형에 의해 유도된 순열(Baxter 순열) 사이의 구조적 및 수적 관계를 조사하기.
• 새로운 순열 가족을 금지된 패턴의 관점에서 특성화하고, 그들의 수를 세기.
• 기브티너 플로어플랜의 특수 케이스를 탐색하고, 이를 점별로 분리 가능한 순열과 연결하기.
• 플로어플랜 내의 직사각형 분할과 세그먼트 기반 임bedding을 이해하기 위한 조합적 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• 세그먼트의 왼쪽/오른쪽 및 위/아래 이웃 관계에 기반한 플로어플랜 세그먼트에 대한 두 개의 부분 순서 정의하기.
• 이전 연구에서 사각형에 대한 R-순열과 유사하게 세그먼트 순서에서 순열 S(P)를 구성하기.
• 세그먼트 분할에 기반한 재귀적 분해를 통해 S(P)가 (2-14-3, 3-41-2)-회피 순열임을 증명하기.
• 세그먼트 순열(S(P))과 사각형 순열(R(P))의 중첩이 완전한 Baxter 순열을 유도함을 보여주기.
• 생성 함수와 전이 정리(transfer theorems)를 사용하여 (2-14-3, 3-41-2)-회피 순열의 수를 유도하기.
• 재귀적 분해를 활용하여 S(P)의 점별로 분리 가능한 성질을 통해 기브티너 플로어플랜을 특성화하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 플로어플랜 내 세그먼트 이웃 관계에 의해 유도된 순서의 조합적 구조는 무엇인가?
• RQ2 (2-14-3, 3-41-2)-회피 순열은 잘 알려진 (2-41-3, 3-14-2)-회피 Baxter 순열과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 세그먼트 기반 순열은 금지된 패턴의 집합으로 특성화될 수 있으며, 그 수는 어떻게 세는가?
• RQ4 동일한 플로어플랜 내에서 세그먼트 순열과 사각형 순열 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 기브티너 플로어플랜의 성질은 세그먼트 순열의 구조와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 논문은 (2-14-3, 3-41-2)-회피 순열이라는 새로운 순열 가족을 도입하며, 이는 특정한 금지된 패턴 집합으로 특성화된다.
• 이 순열들이 완전한 Baxter 순열의 짝수 부분임이 입증되었으며, 전체 Baxter 순열은 세그먼트 순열(πe)과 사각형 순열(πo)의 중첩을 통해 얻어진다.
• 크기 n인 (2-14-3, 3-41-2)-회피 순열의 수는 공식 h_n = ∑_{i=0}^{⌊(n+1)/2⌋} (−1)^i * C(n+1−i, i) * g_{n+1−i} 로 주어지며, 여기서 g_k는 k번째 분리 가능한 순열 수이다.
• 이 순열의 생성함수는 H(t) = 1/t * G(t(1−t)) 로 주어지며, 여기서 G(t)는 분리 가능한 순열의 생성함수이다.
• 이러한 순열의 수의 점근적 성장률은 약 4.5465^n이며, 다항식 인자까지 고려할 때 성립한다.
• 기브티너 플로어플랜은 정확히 세그먼트 순열 S(P)가 점별로 분리 가능한 경우로 특성화되며, 이 클래스는 유도된 생성함수를 통해 수를 세고 있다.