[논문 리뷰] Orthogonal polynomial expansions for the Riemann xi function

Dan Romik|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 17.

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한 줄 요약

이 논문은 Riemann xi 함수 Ξ(t)에 대한 세 가지 새로운 무한급수 전개를 도입하고 분석한다. 이 전개는 직교다항식인 에르미트 다항식, 대칭형 메이스너-폴라츠키 Pₙ⁽³/⁴⁾(x;π/2), 그리고 연속형 하ahn 다항식 pₙ(·;3/4,3/4,3/4,3/4)을 사용한다. 계수에 대한 정확한 공식을 유도하고, 부호가 번갈아 나타남을 증명하며, 정밀한 점근적 행동을 확립하고, 메이스너-폴라츠키 및 연속형 하ahn 전개가 Riemann 가설과 De Bruijn–Newman 상수를 연구하는 데 있어 전통적인 에르미트 전개보다 더 자연스러운 도구가 될 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We study infinite series expansions for the Riemann xi function $Ξ(t)$ in three specific families of orthogonal polynomials: (1) the Hermite polynomials; (2) the symmetric Meixner-Pollaczek polynomials $P_n^{(3/4)}(x;π/2)$; and (3) the continuous Hahn polynomials $p_n\left(x; \frac34,\frac34,\frac34,\frac34 ight)$. The first expansion was discussed in earlier work by Turán, and the other two expansions are new. For each of the three expansions, we derive formulas for the coefficients, show that they appear with alternating signs, derive formulas for their asymptotic behavior, and derive additional interesting properties and relationships. We also apply some of the same techniques to prove a new asymptotic formula for the Taylor coefficients of the Riemann xi function. Our results continue and expand the program of research initiated in the 1950s by Turán, who proposed using the Hermite expansion of the Riemann xi function as a tool to gain insight into the location of the Riemann zeta zeros. We also uncover a connection between Turán's ideas and the separate program of research involving the so-called De Bruijn-Newman constant. Most significantly, the phenomena associated with the new expansions in the Meixner-Pollaczek and continuous Hahn polynomial families suggest that those expansions may be even more natural tools than the Hermite expansion for approaching the Riemann hypothesis and related questions.

연구 동기 및 목표

• 직교다항식 전개를 사용하여 Riemann xi 함수와 그 영점들을 연구하는 투란의 계획을 확장하기 위해.
• 에르미트 다항식 이외의 다른 직교다항식 가족이 Riemann 가설을 분석하는 데 더 자연스럽거나 통찰력 있는 표현을 제공하는지 조사하기 위해.
• 세 가지 특정 다항식 가족에서 전개 계수에 대한 정확한 공식, 식의 번갈아짐, 그리고 점근적 행동을 유도하기 위해.
• 이러한 전개를 De Bruijn–Newman 상수와 Pólya–De Bruijn 흐름과 연결하여, 제타 함수 이론에서 두 주요 연구 프로그램을 연결하기 위해.
• Ξ(t)의 테일러 계수에 대한 새로운 점근적 공식을 제공하여, 해석적 수론에서 오랫동안 미해결된 문제에 기여하기 위해.

제안 방법

• 적분 변환과 멜린 변환 기법을 사용하여 에르미트, 대칭형 메이스너-폴라츠키, 연속형 하ahn 다항식 전개에 대한 계수 공식을 유도한다.
• 포아송 흐름과 Pólya–De Bruijn 흐름을 적용하여 변형 하에 영점의 진화를 분석하고 De Bruijn–Newman 상수와 연결한다.
• R^d 상의 반경성 푸리에 자기변환과 균형 잡힌 함수를 사용하여 정규직교 기저를 구성하고 새로운 전개를 도출한다.
• 멜린 변환 계산과 함수 Φ(x)의 성질을 활용하여 Ξ(t)를 가중함수와 직교다항식 체계와 연결한다.
• 생성함수와 기하급수 항등식을 통해 fₙ 및 gₙ 다항식 수열 간의 관계를 확립한다.
• 라멘트 W 함수를 포함한 점근적 분석을 적용하여, 세 전개 모두에서 계수에 대한 정밀한 점근적 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Riemann xi 함수 Ξ(t)는 전통적인 에르미트 가족 외의 직교다항식 전개로 의미 있게 전개될 수 있으며, 이러한 전개가 Riemann 가설에 대한 더 깊은 통찰을 제공할 수 있는가?
• RQ2 메이스너-폴라츠키 및 연속형 하ahn 다항식 전개에서 계수는 부호가 번갈아 나타나고 예측 가능한 점근적 행동을 보이며, 만약 그렇다면 에르미트 전개와 비교해 어떻게 다른가?
• RQ3 새로운 전개와 De Bruijn–Newman 상수 사이의 관계는 무엇인가? 특히 Pólya–De Bruijn 흐름 하에서 영점의 밀림과 끌림 역학 측면에서 어떻게 연결되는가?
• RQ4 세 전개의 계수 점근적 행동을 비교하면 어떻게 되며, 어떤 전개 가족이 제타 함수의 영점 분석을 위한 가장 유리한 수렴성 또는 해석적 성질을 제공하는가?
• RQ5 fₙ 및 gₙ 전개를 유도하는 데 사용된 기법을 일반화하여 Ξ(t)의 테일러 계수에 대한 새로운 점근적 공식을 도출할 수 있으며, 그들의 정확한 성장률은 무엇인가?

주요 결과

• 에르미트, 메이스너-폴라츠키, 연속형 하ahn 전개의 모든 계수는 부호가 번갈아 나타나며, 이는 영점 위치 분석에 있어 그 유용성을 뒷받침하는 핵심 성질이다.
• 메이스너-폴라츠키 계수 c₂ₙ의 점근적 성장은 ∼16√2 π³/² √n exp(−4√(πn))로 나타나 매우 빠른 감쇠를 보인다.
• 연속형 하ahn 계수 d₂ₙ의 점근적 성장은 ∼(128×2¹/³π²/³e⁻²π/³/√3) n⁴/³ exp(−3(4π)¹/³n²/³)로 나타나 메이스너-폴라츠키 경우보다 더 빠른 감쇠를 보인다.
• Ξ(t)의 테일러 계수 a₂ₙ는 ∼π¹/⁴ / (2²ⁿ⁻⁵/² (2n)!) × (2n/log(2n))⁷/⁴ × exp[2n(log(2n/π) − W(2n/π) − 1/W(2n/π))], W는 라멘트 W 함수이다.
• 연속형 하ahn 전개는 가장 유리한 점근적 감쇠를 보이며, 이는 Riemann 가설을 연구하는 데 가장 자연스러운 도구일 수 있음을 시사한다.
• 테일러 계수 a₂ₙ에 대한 새로운 점근적 공식이 유도되었으며, 이는 이전 추정치를 향상시키고 초지수적 감쇠를 확인한다.