[논문 리뷰] Ostrowski type inequalities involving the right Caputo fractional derivatives belong to L_{p}

Mehmet Zeki Sarıkaya|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 20.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 11인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 적분 잔여항을 가진 오른쪽 캐프토 분수도수의 테일러 공식을 활용하여, $L_p$ 공간에서($1 \leq p \leq \infty$) 오른쪽 캐프토 분수도수를 포함하는 새로운 오스트로스키 유형 부등식을 수립한다. 주요 기여는 분수도수의 노름과 리만-리우빌 적분을 사용하여 함수의 적분 평균에서의 이탈에 대한 날카운 경계를 도출하는 것으로, 고전적 오스트로스키 부등식을 $L_p$-적분 가능한 도수를 가진 분수적분 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper, we have established Ostrowski type inequalities involving the right Caputo fractional derivatives belong to L_{p} spaces (1\leq p \leq \infty) via the right Caputo fractional Taylor formula with integral remainder.

연구 동기 및 목표

• 고전적 오스트로스키 부등식을 $L_p$ 공간에서 오른쪽 캐프토 분수도수의 설정으로 확장하기 위해.
• 고차 분수도수가 $L_\infty$ 또는 $L_1$ 이외의 $L_p$ 공간에 속할 경우 오스트로스키 유형 부등식의 격차를 메우기 위해.
• 오른쪽 캐프토 분수도수의 $L_p$-노름을 통합하여 기존의 분수 오스트로스키 부등식을 일반화하기 위해.
• 아스타시오의 이전 결과들을 $L_p$ 조건 하에서 통합하고 정교화하기 위해.

제안 방법

• 적분 잔여항을 가진 오른쪽 캐프토 분수도수의 테일러 공식을 사용하여 함수를 그 분수도수의 형태로 표현한다.
• 분수도수 항의 $L_p$-노름을 제어하기 위해 헬더 부등식을 적용한다.
• 함수의 끝점에서의 값이 포함된 잔여항을 유계화하기 위해 리만-리우빌 분수적분 $J_{a+}^{\alpha}$를 사용한다.
• 테스트 함수를 곱하고 $[a,b]$ 위에서 적분하여 부등식을 유도한다.
• 테일러 전개를 단순화하고 분수도수 항을 분리하기 위해 $f^{(k)}(b) = 0$ ($k=1,\dots,m-1$)이라는 가정을 사용한다.
• 노름 추정과 적분 부등식을 적용하여 함수와 그 구간 $[a,b]$에서의 평균 사이의 차이를 유계화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오른쪽 캐프토 분수도수가 $1 \leq p \leq \infty$ 인 $L_p$ 공간에 속하는 함수에 대해 오스트로스키 유형 부등식을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 오른쪽 캐프토 분수도수가 $L_p$에 속할 경우, 함수의 적분 평균에서의 이탈에 대한 날카운 경계는 무엇인가?
• RQ3 유도된 부등식은 고전적 오스트로스키 및 아스타시오 유형 부등식과 어떻게 관련되어 있으며, 이를 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 적분 잔여항을 가진 분수 테일러 공식이 오스트로스키 유형 부등식의 $L_p$-노름 추정을 효과적으로 유도하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 리만-리우빌 분수적분은 $L_p$ 기반 오스트로스키 부등식의 경계를 정교화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 만약 $D_{b-}^{\alpha}f, D_{b-}^{\alpha}g \in L_\infty$ 이면, 이 부등식은 $\|D_{b-}^{\alpha}f\|_{\infty} J_{a+}^{\alpha+1}|g(b)| + \|D_{b-}^{\alpha}g\|_{\infty} J_{a+}^{\alpha+1}|f(b)|$로 이탈을 유계화하며, 이는 $L_\infty$ 경우를 일반화한다.
• 만약 $D_{b-}^{\alpha}f, D_{b-}^{\alpha}g \in L_1$ 이면, 경계는 $\|D_{b-}^{\alpha}f\|_{L_1} J_{a+}^{\alpha}|g(b)| + \|D_{b-}^{\alpha}g\|_{L_1} J_{a+}^{\alpha}|f(b)|$로 변형되며, 이는 $L_1$ 경우를 확장한다.
• 만약 $D_{b-}^{\alpha}f, D_{b-}^{\alpha}g \in L_q$ 이고 $p,q > 1$, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, $α > 1 - \frac{1}{p}$ 이면, 경계는 $\Gamma(\alpha + \frac{1}{p}) \left( \|D_{b-}^{\alpha}f\|_{L_q} J_{a+}^{\alpha + \frac{1}{p}}|g(b)| + \|D_{b-}^{\alpha}g\|_{L_q} J_{a+}^{\alpha + \frac{1}{p}}|f(b)| \right)$ 로 표현되며, 이는 쌍대성에 의해 $L_p$-경우를 포괄한다.
• 함수 $g(x) = 1$일 경우, 유도된 부등식은 기존의 아스타시오의 $L_p$ 기반 오스트로스키 부등식과 일치함을 확인하여 일관성을 입증한다.
• 오른쪽 캐프토 분수도수의 테일러 공식을 적분 잔여항과 함께 사용함으로써, 분수도수의 $L_p$-노름에 따라 잔여항을 정밀하게 제어할 수 있다.
• 결과는 날카롭고, 고전적 오스트로스키 부등식을 $L_p$ 공간에서의 분수도수로 일반화하며, 분수적분 부등식에 대한 통합된 프레임워크를 제공한다.