[논문 리뷰] Overlapping Schwarz Decomposition for Nonlinear Optimal Control.

Sen Na, Sungho Shin외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 14.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 36인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비선형 최적 제어 문제를 위한 겹치는 Schwarz 도메인 분할 방법을 제안한다. 이 방법은 겹치는 시간 하위도메인에서 하위문제를 병렬로 해결하고 경계의 원천-이중 정보를 갱신하여 局소 수렴을 달성한다. 주요 기여는 제2차 충분조건, 제어 가능성 및 유계 조건 하에서 새로운 점점 감쇠 성질을 도출함으로써 겹침 크기와 함께 지수 수렴을 증명한 데 있다. 이는 퀴드로터 운동 계획 문제에서 검증되었다.

ABSTRACT

We present an overlapping Schwarz decomposition algorithm for solving nonlinear optimal control problems (OCPs). Our approach decomposes the time domain into a set of overlapping subdomains and solves subproblems defined over such subdomains in parallel. Convergence is attained by updating primal-dual information at the boundaries of the overlapping regions. We show that the algorithm exhibits local convergence and that the convergence rate improves exponentially with the size of the overlap. Our convergence results rely on a sensitivity result for OCPs that we call asymptotic decay of sensitivity. Intuitively, this result states that impact of parametric perturbations at the boundaries of the time domain (initial and final time) decays exponentially as one moves away from the perturbation points. We show that this condition holds for nonlinear OCPs under a uniform second-order sufficient condition, a controllability condition, and a uniform boundedness condition. The approach is demonstrated by using a highly nonlinear quadrotor motion planning problem.

연구 동기 및 목표

• 비선형 최적 제어 문제(OCPs)를 효율적으로 해결하기 위한 병렬 도메인 분할 방법을 개발한다.
• 시간 도메인을 겹치는 하위도메인으로 분할하여 대규모 OCPs를 해결하는 데 도전한다.
• 새로운 감쇠 성질을 사용하여 제안된 알고리즘의 이론적 수렴 보장을 수립한다.
• 퀴드로터 운동 계획과 같은 매우 비선형이고 실제적인 제어 문제에서 방법의 효율성을 입증한다.

제안 방법

• 시간 도메인을 겹치는 하위도메인으로 분할하여 하위문제의 병렬 해결을 가능하게 한다.
• 각 하위문제는 경계 조건을 반복적으로 갱신하면서 표준 최적 제어 기법을 독립적으로 적용하여 해결한다.
• 경계에서의 원천 및 이중 변수(예: 상태 및 양익 감도)를 갱신하여 일致성을 확보한다.
• 수정 사항이 겹치는 영역에서 내부로 전파되는 피드백 메커니즘이 수렴을 이끈다.
• 이론적 수렴은 새로운 감도 감쇠 결과에 기반한다: 초기/최종 시간의 변동이 내부로 지수적으로 감쇠된다.
• 이 방법은 비선형 퀴드로터 운동 계획 문제에 구현되고 성능 검증을 위해 테스트되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 겹치는 Schwarz 분할이 비선형 최적 제어 문제에 대해 국소 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 겹침 크기가 알고리즘의 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 감도가 경계 변동으로부터 내부로 지수적으로 감쇠되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 제안된 방법이 퀴드로터와 같은 매우 비선형 시스템에서도 수렴성과 효율성을 유지하는가?
• RQ5 기본 OCP 가정 하에서 감도의 점점 감쇠 성질을 엄밀히 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 겹치는 Schwarz 알고리즘이 비선형 최적 제어 문제에 대해 국소 수렴을 보인다.
• 겹침 크기가 증가할수록 수렴 속도가 지수적으로 향상되어 병렬 환경에서 뛰어난 확장성을 보인다.
• 균일한 제2차 충분조건, 제어 가능성 및 균일한 유계 조건 하에서 감도의 점점 감쇠 성질이 확립된다.
• 감쇠 성질은 경계 변동이 하위도메인 내부로 갈수록 영향력이 감소함을 보장하여 효과적인 도메인 분할을 가능하게 한다.
• 이 방법은 매우 비선형적인 퀴드로터 운동 계획 문제를 성공적으로 해결하여 실용성과 효율성을 확인한다.