[논문 리뷰] $p$-adic discrete dynamical systems and their applications in physics and cognitive sciences

Andrei Khrennikov|ArXiv.org|2004. 02. 23.

advanced mathematical theories참고 문헌 71인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 p진 정수체 위에서의 p진 이산 동역계를 조사하며, 특히 p진 체 위에서의 사상 반복과 그의 에르고딕 성질, 순환 구조, 해석적 동역계를 다룬다. 소수 p ≡ 1 mod 4 인 경우, f(x) = x² + x 사상은 길이 2의 흐린 순환을 보이며, 일부는 집합자 또는 시겔 디스크로 작용한다. 또한 높은 p진 정밀도에서 중첩된 부분순환의 존재를 입증하여 비아르키메데스적 환경에서 복잡한 동역계적 구조를 드러낸다.

ABSTRACT

This review is devoted to dynamical systems in fields of $p$-adic numbers: origin of $p$-adic dynamics in $p$-adic theoretical physics (string theory, quantum mechanics and field theory, spin glasses), continuous dynamical systems and discrete dynamical systems. The main attention is paid to discrete dynamical systems - iterations of maps in the field of $p$-adic numbers (or their algebraic extensions): conjugate maps, ergodicity, random dynamical systems, behaviour of cycles, holomorphic dynamics. dynamical systems in finite fields. We also discuss applications of $p$-adic discrete dynamical systems to cognitive sciences and psychology.

연구 동기 및 목표

• p진 체 위의 이산 사상의 동역계를 조사하며, 특히 에르고딕성, 순환 구조, 해석적 행동에 초점을 맞춘다.
• p진 동역계에서 유한 정밀도 계산으로 인해 나타나는 흐린 순환의 발생을 탐색한다.
• p진 동역계와 이론 물리학 및 인지 과학 분야의 응용 간의 연결 고리를 설정한다.
• 높은 p진 정밀도에서 순환의 구조적 복잡성, 특히 중첩된 부분순환을 분석한다.

제안 방법

• p진 수체 Qp 및 그 대수적 확장을 사용하여 Qp → Qp 사상의 반복을 통해 동역계를 정의한다.
• p진 절대값과 초거리역도적 위상수학을 포함한 p진 해석학을 적용하여 연속성, 미분 가능성, 수렴성을 정의한다.
• 유한한 p진 정밀도를 사용한 수치 계산을 통해 '흐린 순환'—계산 제약으로 인한 근사 주기 궤도—를 식별한다.
• 흐린 순환 구조를 활용해 전통적인 동역계 개념인 집합자와 시겔 디스크를 p진 환경에 일반화한다.
• p ≡ 1 mod 4 등의 수론적 조건을 적용하여 순환 존재성 및 유형에 대한 일반 정리를 도출한다.
• 기호 계산과 재귀적 반복을 사용하여 100 미만의 여러 소수 p에 대해 다양한 길이의 순환을 탐지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 정밀도 계산 하에서 p진 이산 동역계에서 어떤 유형의 주기적 행동이 나타나는가?
• RQ2 p진 동역계에서의 흐린 순환은 전통적 개념인 집합자와 시겔 디스크와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 p ≡ 1 mod 4 등의 수론적 조건 하에서 f(x) = x² + x와 같은 사상에서 특정 순환 길이(예: 2)가 존재하는가?
• RQ4 높은 p진 정밀도에서 증가하는 길이의 중첩된 부분순환을 체계적으로 식별할 수 있는가?
• RQ5 p진 동역계는 인지 과정과 물리 시스템을 모델링하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 소수 p ≡ 1 mod 4 인 경우, f(x) = x² + x 사상은 길이 2의 흐린 순환을 보이며, 일부는 순환 집합자(예: p = 5)로 작용하고 다른 일부는 시겔 디스크로 작용한다.
• p = 11, 41, 43, 59, 67, 89(두 번), 97 에서 길이 3의 흐린 순환이 발견되었으며, p = 89 는 한 개의 집합자를 보이고 나머지는 모두 시겔 디스크로 분류된다.
• p = 19, 43, 47, 71 에서 길이 4의 순환이 탐지되었으며, 모두 시겔 디스크로 분류된다.
• p = 89 에서는 길이 2, 3, 5, 6인 여러 흐린 순환이 공존하여 복잡한 계층적 구조를 시사한다.
• p = 11 에서 길이 3의 순환 U_{1/11}(2)–U_{1/11}(6)–U_{1/11}(9) 는 길이 15의 부분순환을 포함하며, 이는 다시 길이 104의 부분순환을 포함한다.
• U_{1/13}(4)–U_{1/13}(7) 의 순환은 길이 8의 부분순환을 포함하며, 이는 다시 길이 104의 부분순환을 포함하여 동역계적 구조의 재귀적 중첩을 나타낸다.