[논문 리뷰] Anticyclotomic Iwasawa theory of elliptic modular forms at non-ordinary primes

Kâzım Büyükboduk, Antonio Lei|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 41인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 허수 제곱수 영역 위의 비보통 모듈러 형식에 대한 아이와사와 주요 추측을 제안하며, 이중 부호가 붙은 콜레먼 사상과 세르머 군, 이중 부호가 붙은 베일린스킨-플라치 원소 및 p진 L함수를 도입하여, 반대칭 호모로지 및 $Σ\mathbb{Z}_p^2$-타워 설정에서 이러한 대상들을 연결한다. 기술적 가정 하에 네 가지 주요 추측 중 각각 하나의 포함관계를 증명하며, 보통 케이스를 초월한 아이와사와 이론을 확장한다.

ABSTRACT

This article is a continuation of our previous work on the Iwasawa theory of an elliptic modular form over an imaginary quadratic field $K$, where the modular form in question was assumed to be ordinary at a fixed odd prime $p$. We formulate the Iwasawa main conjecture for suitable twists of a newform $f$ that is non-ordinary at $p$, over the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension, the anticyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extensions (in both the \emph{definite} and the \emph{indefinite} cases) as well as the maximal $\mathbb{Z}_p^2$-tower of an imaginary quadratic field $K$ where $p$ splits. In order to do so, we define Kobayashi-Sprung-style doubly-signed Coleman maps, which we use to define doubly signed Selmer groups. In the same spirit, we construct doubly-signed (integral) Beilinson-Flach elements (out of the collection of unbounded Beilinson-Flach elements of Loeffler-Zerbes), which we use to define doubly-signed $p$-adic $L$-functions. The main conjecture then relates these two set of objects. Furthermore, we show that the integral Beilinson-Flach elements form a locally restricted Euler system that allows us to deduce (under certain technical assumptions) one inclusion in each one of the four main conjectures we formulate here.

연구 동기 및 목표

• 허수 제곱수 영역에서 p가 비보통인 비보통 모듈러 형식에 대한 아이와사와 이론을 확장하기 위해.
• 반대칭 호모로지 및 $Σ\mathbb{Z}_p^2$-타워를 위한 코바야시-스프룽 스타일의 콜레먼 사상에 기반한 이중 부호가 붙은 세르머 군을 정의하기 위해.
• 뢰플러-제르베스의 비유계 베일린스킨-플라치 원소에서 유도된 이중 부호가 붙은 p진 L함수를 구성하기 위해.
• 반대칭 호모로지 및 확정적/비확정적 반대칭 호모로지 케이스, 그리고 최대 $Σ\mathbb{Z}_p^2$-타워를 포함하는 네 가지 버전의 아이와사와 주요 추측을 제안하고, 각각의 포함관계 하나를 증명하기 위해.
• 정수 베일린스킨-플라치 원소가 국소적으로 제한된 오일러 시스템을 이룬다는 것을 확립하여, 주요 추측의 포함관계를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 비보통 행동을 다루기 위해 코바야시와 스프룽의 영향을 받은 이중 부호가 붙은 콜레먼 사상을 도입하기 위해.
• 이러한 콜레먼 사상을 사용하여 p진 L함수와 갈루아 코hom로지 데이터를 포착하는 이중 부호가 붙은 세르머 군을 정의하기 위해.
• 비유계 원소에서 유도된 루프러-제르베스의 원소를 기반으로 하여 서명 프레임워크에 적합하도록 조정된 이중 부호가 붙은 베일린스킨-플라치 원소를 정의하기 위해.
• 서명된 세르머 군과 연결된 보간 성질을 통해 이중 부호가 붙은 p진 L함수를 정의하기 위해.
• 정수 베일린스킨-플라치 원소가 국소적으로 제한된 오일러 시스템을 이룬다는 점을 이용하여, 네 가지 주요 추측 각각에 대해 하나의 포함관계를 도출하기 위해.
• 기본적인 가정을 적용하여 순환 및 반대칭 호모로지 확장 간의 서명된 구성에서 호환성과 유한성을 확보하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허수 제곱수 영역 위의 비보통 모듈러 형식에 대해 아이와사와 주요 추측을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 반대칭 호모로지 및 $Σ\mathbb{Z}_p^2$-타워 설정에서 비보통 상황에 적합한 콜레먼 사상과 세르머 군의 일반화로 무엇이 적절한가?
• RQ3 이중 부호가 붙은 베일린스킨-플라치 원소를 구성하여 서명된 세르머 군과 일치하는 p진 L함수를 도출할 수 있는가?
• RQ4 정수 베일린스킨-플라치 원소의 국소적으로 제한된 오일러 시스템 성질이 주요 추측의 포함관계를 어떻게 지원하는가?
• RQ5 이러한 구성이 비보통 아이와사와 이론에서 p진 L함수와 세르머 군의 구조에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 논문은 허수 제곱수 영역의 반대칭 호모로지 및 $Σ\mathbb{Z}_p^2$-타워에 대해 비보통 모듈러 형식에 대한 아이와사와 주요 추측의 네 가지 버전을 제안한다.
• 비보통 케이스에서 서명된 세르머 군을 정의하기 위해 이중 부호가 붙은 콜레먼 사상을 구성하였으며, 이는 보통 프레임워크를 일반화한다.
• 뢰플러-제르베스의 비유계 원소에서 유도된 이중 부호가 붙은 베일린스킨-플라치 원소를 정의하여 서명된 p진 L함수의 구성이 가능해졌다.
• 정수 베일린스킨-플라치 원소는 국소적으로 제한된 오일러 시스템을 이룬다. 이는 네 가지 주요 추측 각각에 대해 하나의 포함관계를 도출할 수 있게 한다.
• 기술적 가정 하에, 네 가지 설정—확정적/비확정적 반대칭 호모로지 및 $Σ\mathbb{Z}_p^2$-타워—에서 각각 하나의 포함관계를 증명함으로써 주요 추측이 부분적으로 증명된다.
• 이 프레임워크는 반대칭 호모로지 방향에서 비보통 아이와사와 이론에 체계적인 접근법을 제공하며, 순환 및 $Σ\mathbb{Z}_p^2$-타워 케이스를 통합한다.