[논문 리뷰] Pólya-Vinogradov and the least quadratic nonresidue

Jonathan Bober, Leo Goldmakher|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 29.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 장기 캐릭터 합 추정치와 제곱 비잔류수의 최소값 사이에 새로운 연결을 수립한다. 짝수 캐릭터에 대한 Pólya–Vinogradov 부등식의 향상이 홀수 캐릭터에 대한 최소 비잔류수에 대해 더 강력한 상한을 직접 이끌어낸다는 것을 보여줌으로써, Burgess의 고전적 지수를 향상시키는 데 새로운 길을 열었다. 조건부 결과로서 장기 캐릭터 합에 대한 추측 하에 $ n_p \ll (\log p)^{1.4} $ 가 도출된다.

ABSTRACT

It is well-known that cancellation in short character sums (e.g. Burgess' estimates) yields bounds on the least quadratic nonresidue. Scant progress has been made on short character sums since Burgess' work, so it is desirable to find a new approach to nonresidues. The goal of this note is to demonstrate a new line of attack via long character sums, a currently active area of research. Among other results, we demonstrate that improving the constant in the Pólya-Vinogradov inequality would lead to significant progress on nonresidues. Moreover, conditionally on a conjecture on long character sums, we show that the least nonresidue for any odd primitive character (mod $k$) is bounded by $(\log k)^{1.4}$.

연구 동기 및 목표

• 장기 캐릭터 합 추정치와 최소 제곱 비잔류수의 상한 사이의 새로운 연결을 수립하기.
• 짝수 캐릭터에 대한 Pólya–Vinogradov 부등식의 향상이 홀수 캐릭터에 대한 최소 비잔류수 상한을 더 강력하게 이끌어낸다는 것을 보여주기.
• 최근 장기 캐릭터 합 이론의 발전이 오랫동안 미해결이었던 최소 제곱 비잔류수 상한 문제에 어떤 영향을 미치는지 탐구하기.
• 장기 캐릭터 합에 대한 추측 하에 조건부 상한 $ n_\xi \ll (\log k)^{1.4} $ 를 조사하기.
• 해법의 한계와 $ L(1,\xi) $ 의 크기 및 일반화된 리만 가설과의 관계를 검토하기.

제안 방법

• 논문은 Pólya–Vinogradov 부등식을 출발점으로 삼아, 캐릭터 $ \chi $ 의 최대 부분합 $ M(\chi) $ 와 홀수 캐릭터 $ \xi $ 의 최소 비잔류수 $ n_\xi $ 간의 관계를 설정한다.
• 홀수 캐릭터 $ \xi \mod k $ 로부터 짝수 캐릭터 $ \chi \mod 3k $ 를 구성하고, 합 $ \sum_{n \leq y^\alpha} \frac{\xi(n)}{n} $ 을 활용하여 $ M(\chi) $ 의 하한을 도출한다.
• 부드러운 정수의 분포를 모델링하기 위해 Dickman–de Bruijn 함수 $ \rho(u) $ 를 적용하고, $ \xi(n) = 1 $ 이 $ y $-부드러운 수에서 성립한다고 가정하여 $ \xi(n)/n $ 의 부분합을 추정한다.
• 합의 하한을 구하기 위해 $ \left| \sum_{n \leq y^\alpha} \frac{\xi(n)}{n} \right| \geq \sum_{n \leq y^\alpha} \frac{1}{n} - 2 \sum_{P^+(n) > y} \frac{1}{n} $ 와 같은 항등식을 사용하며, 서로소 조건과 부드러움 조건에 의존한다.
• 핵심 부등식 $ M(\chi) \gtrsim \frac{\sqrt{k}}{\pi} (-2\alpha \log \alpha + 3\alpha - 2) \log y $ 는 $ \alpha = \sqrt{e} $ 에서 최대화되어 주요 결과를 이끌어낸다.
• pretentious 캐릭터 이론과 부드러운 수의 분포에 기반한 히ュ리스틱 추론을 통해, $ \log n_\xi \lesssim \left( \frac{\pi}{e^\gamma} \right) \frac{M(\chi)}{\sqrt{k}} $ 라는 추측을 도출하며, 이는 $ M(\chi) $ 에 대한 추측된 상한 하에 $ n_\xi \ll (\log k)^{1+o(1)} $ 를 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 짝수 캐릭터에 대한 Pólya–Vinogradov 부등식의 향상은 홀수 캐릭터에 대한 최소 제곱 비잔류수 상한 향상으로 이어질 수 있는가?
• RQ2 짝수 캐릭터의 최대 부분합 $ M(\chi) $ 와 홀수 캐릭터의 최소 비잔류수 $ n_\xi $ 사이의 정량적 관계는 무엇인가?
• RQ3 특히 Granville–Soundararajan 추측 하에 장기 캐릭터 합 이론은 기존의 최소 비잔류수 상한을 얼마나 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 Burgess 지수 $ \frac{1}{4\sqrt{e}} $ 를 초월하는 조건부 상한 $ n_\xi $ 이 존재하는가? 만약 존재한다면 그 강도는 어떠한가?
• RQ5 $ L(1,\xi) $ 의 크기는 최소 비잔류수와 관련된 짝수 캐릭터의 최대 부분합 $ M(\chi) $ 와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 짝수 캐릭터에 대한 Pólya–Vinogradov 부등식의 상수를 향상시키면, 특히 $ p \equiv 3 \pmod{4} $ 인 소수에 대해, 최소 제곱 비잔류수 $ n_p $ 의 Burgess 지수 $ \frac{1}{4\sqrt{e}} $ 가 직접 향상된다.
• 모든 짝수 원시 캐릭터 $ \chi \mod q $ 에 대해 $ M(\chi) \leq \left( \frac{e^\gamma}{\pi\sqrt{3}} + o(1) \right) \sqrt{q} \log \log q $ 라는 추측 하에, 논문은 $ n_\xi \ll (\log k)^{c+o(1)} $ 를 도출하며, $ c \approx 1.37 $ 이며, GRH 하에서 Ankeny의 $ \ll (\log p)^2 $ 상한을 초월한다.
• 동일한 추측 하에 조건부로 $ n_\xi \ll (\log k)^{1.4} $ 라는 상한을 달성하였으며, 이는 현재의 기술 수준을 크게 향상시킨다.
• 만약 모든 짝수 캐릭터 $ \chi \mod q $ 에 대해 $ M(\chi) = o(\sqrt{q} \log q) $ 라면, $ n_\xi \ll k^{o(1)} $ 가 성립함을 보여주며, 이는 로그 이하의 상한을 향한 길을 열어준다.
• 이 방법은 최소 비잔류수의 최대 크기가 $ L(1,\xi) $ 의 최대 크기와 깊이 관련되어 있으며, $ n_\xi $ 가 클수록 $ L(1,\xi) $ 도 클 가능성이 높다는 것을 보여준다.
• 모든 원시 짝수 캐릭터 $ \chi \mod q $ 에 대해, $ n_\chi \leq \exp((\log q)^{5/6+\epsilon}) $ 이나 $ M(\chi) \leq \sqrt{q} (\log q)^{2/3+\epsilon} $ 중 적어도 하나는 성립함을 증명하였으며, 이는 두 양수 중 적어도 하나는 작아야 한다는 것을 보여준다.