[논문 리뷰] Painleve Field Theory

A. Levin, S Aminov외 3명|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 13.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 77인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 타원 곡선 위의 평탄한 복소 무한 랭크 병렬 이송에 대한 등형수렴 변형을 통해 파인레베 6형 방정식 및 그 분해의 다차원 장 이론을 일반화한다. 모듈라 매개변수를 시간으로 삼는다. 핵심 결과는 1+1차원 및 2+1차원에서 비국소적이고 비자기 해밀턴 방정식을 유도하는 것으로, SL(N,C) 단위수 유지 시스템으로 축소되며, N=2일 때 표준 파인레베 6형 방정식을 포함한다.

ABSTRACT

We propose multidimensional versions of the Painlev\'e VI equation and its degenerations. These field theories are related to the isomonodromy problems of flat holomorphic infinite rank bundles over elliptic curves and take the form of non-autonomous Hamiltonian equations. The modular parameter of curves plays the role of time. Reduction of the field equations to the zero modes leads to ${ m SL}(N, {\mathbb C})$ monodromy preserving equations. The latter coincide with the Painlev\'e VI equation for $N\!=\!2$. We consider two types of the bundles. In the first one the group of automorphisms is the centrally and cocentrally extended loop group $L({ m SL}(N, {\mathbb C}))$ or some multiloop group. In the case of the Painlev\'e VI field theory in D=1+1 four constants of the Painlev\'e VI equation become dynamical fields. The second type of bundles are defined by the group of automorphisms of the noncommutative torus. They lead to the equations in dimension 2+1. In both cases we consider trigonometric, rational and scaling limits of the theories. Generically (except some degenerate cases) the derived equations are nonlocal. We consider Whitham quasiclassical limit to integrable systems. In this way we derive two and three dimensional integrable nonlocal versions of the integrable Euler-Arnold tops.

연구 동기 및 목표

• 타원 곡선 위의 무한 랭크 병렬 이송에 대한 등형수렴 변형을 사용하여 파인레베 6형 방정식을 다차원 장 이론으로 일반화한다.
• 비자기 해밀턴 시스템에서 모듈라 매개변수를 시간으로서의 역할을 탐구한다.
• SL(N,C) 접속에 대한 단위수 유지 방정식을 장 이론의 축소로 도출한다.
• 위식 퀀텀역학적 근사 근사(Whitham quasiclassical limit)를 통해 비국소적 통합 가능 시스템을 조사하고, 비국소적 옐러-아르놀트 톱을 도출한다.
• 두 종류의 자기동형군: 루프 군과 비가환 토러스 대칭군을 비교하여, 이들이 다른 시공간 차원을 유도하는 방식을 밝혀낸다.

제안 방법

• 모듈라 매개변수를 시간으로 삼는 타원 곡선 위의 무한 랭크 복소 병렬 이송에서 비자기 해밀턴 방정식을 수립한다.
• 평탄한 접속에 대한 등형수렴 변형 이론을 사용하여, 상수 대신 동적 장이 포함된 장 방정식을 도출한다.
• 두 종류의 자기동형군을 적용한다: 중심 및 코중심 확장된 루프 군 L(SL(N,C))과 비가환 토러스 군.
• 삼각함수적, 유리형, 스케일링 근사를 적용하여 다양한 통합 가능 장 이론을 도출한다.
• 장 방정식을 영 모드로 축소하여 SL(N,C) 단위수 유지 시스템을 회복하며, N=2일 때 표준 파인레베 6형 방정식을 포함한다.
• 위식 퀀텀역학적 근사 근사를 적용하여 2+1차원 및 3+1차원에서 비국소적 통합 가능 시스템을 도출하며, 옐러-아르놀트 톱을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등형수렴 변형을 통해 파인레베 6형 방정식을 다차원 장 이론으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 파인레베 6형 방정식의 네 개의 상수가 1+1차원에서 장으로 승격될 경우 도출되는 동적 장 방정식은 무엇인가?
• RQ3 루프 군과 비가환 토러스 군의 두 종류의 자기동형군은 유도된 장 이론의 차원성과 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 이 장 이론의 위식 퀀텀역학적 근사 근사에서 어떤 통합 가능 시스템이 도출되는가?
• RQ5 이 장 이론은 2+1차원 및 3+1차원에서 비국소적 옐러-아르놀트 톱을 어떻게 도출하는가?

주요 결과

• 1+1차원에서의 파인레베 6형 장 이론은 방정식의 네 상수를 동적 장으로 승격시켜 비자기 해밀턴 방정식을 유도한다.
• 영 모드로의 축소는 SL(N,C) 단위수 유지 방정식을 유도하며, N=2일 때 표준 파인레베 6형 방정식을 복원한다.
• 루프 군 자기동형군 기반 이론은 비국소적 구조를 지닌 1+1차원 장 방정식을 유도한다.
• 비가환 토러스 자기동형군은 2+1차원에서의 장 이론을 생성하며, 이 역시 비국소성을 나타낸다.
• 삼각함수적, 유리형, 스케일링 근사는 서로 다른 비국소적 통합 가능 장 방정식의 가족을 도출한다.
• 위식 퀀텀역학적 근사 근사는 2+1차원 및 3+1차원에서 비국소적 통합 가능 시스템을 도출하며, 옐러-아르놀트 톱을 일반화한다.