[논문 리뷰] Parabolic reductions of principal bundles

Yogish I. Holla|ArXiv.org|2002. 04. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 16인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 임의의 특성수에서 매끄럽고 사영적인 곡선 위의 주 G-_bundle의 평면적 감소를 매개하는 모듈리 공간과 안정 사상의 모듈리 공간에 대한 차원 상한을 확립한다. 이러한 공간들의 차원에 대한 추정과 하더(G. Harder)의 방법을 일반화하여, 수치적 조건을 만족할 경우 단면 공간의 기하학적 구조가 기하학적으로 연결되어 있고 일반적으로 매끄럽다는 것을 증명하며, 일반적으로 안정된 G-_bundle의 개념을 도입하여, 벡다발의 랭게 결과와 유사한 일반화된 하한 차수 조건을 만족함을 보인다.

ABSTRACT

In this paper we describe the structure of the space of parabolic reductions, and their compactifications, of principal $G$-bundles over a smooth projective curve over an algebraically closed field of arbitrary characteristic. We first prove estimates for the dimensions of moduli spaces of stable maps to the twisted flag varieties $E/P$ and Hilbert schemes of closed subschemes of $E/P$ with same Hilbert polynomials as that of a $P$-reductions of $E$. This generalizes the earlier results of Mihnea Popa and Mike Roth to connected reductive groups and the results of Y. I. Holla and M. S. Narasimhan to the case of non-minimal sections. We then prove irreducibility and generic smoothness of the space of reductions for large numerical constraints, using the above result and the methods of G. Harder. We also study these space in more detail for generically stable $G$-bundles. As a consequence we can generalize the lower bound results of H. Lange to $G$.

연구 동기 및 목표

• 매끄럽고 사영적인 곡선 위의 주 G-_bundle에 대한 평면적 감소의 구조와 그 콪팅을 이해하기 위해.
• 편미분 플래그 다양체 E/P의 부분스킴에 대한 안정 사상과 힐베르트 스킴의 모듈리 공간에 대한 차원 추정을 비최소 단면과 임의의 재수성 군에 대해 일반화하기 위해.
• GL_n 및 보렐 부분군에서의 결과를 확장하여, E/P → C의 단면 공간 Sec^{[σ]}_{E/P}가 수치적 조건을 만족할 경우 기하학적으로 연결되어 있고 일반적으로 매끄럽다는 것을 증명하기 위해.
• 벡다발에서의 안정성 개념을 일반화하여 주 G-_bundle에 대해 일반적으로 안정된 G-_bundle를 정의하고, 곡선의 종수 ≥ 2일 때 그 존재성을 보이며.
• 이전에 벡다발에 대해서만 알려진 감소의 차수에 대한 하한을 임의의 재수성 군 G로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 수치적 유형 [σ] ∈ X_*(P)를 사용하여, 힐베르트 스킴 Hilb^{[σ]}_{E/P} 및 안정 사상의 모듈리 공간 Mbar_g(E/P, β_{[σ]})의 기약 성분의 차원을 추정한다.
• G의 문자에 대해 정의된 지배성과 영성 조건을 이용해 수치적 유형에 대한 부분 순서를 정의하고, 수치적으로 최소 유형 γ_i를 식별한다.
• Hilb^{[σ]}_{E/P} 또는 Mbar_g(E/P, β_{[σ]})의 임의의 기약 성분 X에 대해, dim(X) ≤ dim(G/P) + d([σ]) - d(γ_i) 를 만족하는 최소 유형 γ_i 가 존재함을 증명한다.
• G. 하더의 방법을 적용하여, 충분히 큰 N에 대해 수치적 유형이 조건 (*)를 만족할 경우 Sec^{[σ]}_{E/P}의 기하학적 연결성과 일반적 매끄러움을 증명한다.
• 주어진 G-_bundle가 평면적 부분군으로의 감소에 대해 관련 리만 군이 일반적으로 안정될 경우, 일반적으로 안정된 G-_bundle로 정의한다.
• P-_bundle의 유니버설 가족과 변형 이론을 사용하여, 모듈리 공간의 일반적인 원소들이 일반적으로 안정된 리만 군을 가진 감소와 대응됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 힐베르트 다항식을 가진 E/P의 부분스킴에 대한 힐베르트 스킴의 기약 성분에 대한 차원 상한은 무엇인가?
• RQ2 단면 공간 Sec^{[σ]}_{E/P}가 어떤 수치적 조건을 만족할 경우 기하학적으로 연결되어 있고 일반적으로 매끄럽게 되는가?
• RQ3 GL_n에 대한 안정 벡다발의 개념을 종수 ≥ 2인 곡선 위의 주 G-_bundle로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ4 일반적으로 안정된 G-_bundle의 존재성과 E/P로의 안정 사상의 모듈리 공간의 구조 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 이전에 벡다발에 대해서만 알려진 감소의 차수에 대한 하한을 임의의 재수성 군 G로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• Hilb^{[σ]}_{E/P}의 임의의 기약 성분 X 중 P-감소 σ를 포함하는 경우, dim(X) ≤ dim(G/P) + d([σ]) - d(γ_i) 를 만족하는 최소 수치적 유형 γ_i 가 존재한다.
• 이와 동일한 차원 상한은 안정 사상의 모듈리 공간 Mbar_g(E/P, β_{[σ]})의 기약 성분에도 적용된다.
• G-_bundle E가 충분히 큰 N에 대해 조건 (*)를 만족하는 수치적 유형 [σ]의 P-감소를 가질 경우, Sec^{[σ]}_{E/P}는 기하학적으로 연결되어 있고 기대 차원 d([σ]) + (1−g)dim(G/P)를 가진다.
• 종수 ≥ 2인 곡선에 대해 일반적으로 안정된 G-_bundle는 존재하며, 이러한 G-bundle에 대해 모든 P-감소 σ에 대해 d([σ]) ≥ (g−1)dim(G/P) 가 성립한다.
• E가 일반적으로 안정적일 경우, Mbar_g(E/P, β_{[σ]})는 병리적인 성분을 가지지 않으며, 일반적인 원소들은 일반적으로 안정된 리만 군을 가진 감소와 대응된다.
• 임의의 수치적 유형 [τ] ≤ [σ]에 대해, E가 유형 [σ]의 P-감소를 가질 경우, E는 유형 [τ]의 P-감소도 가진다. 이는 E가 일반적으로 안정적일 경우에 성립한다.