[논문 리뷰] Parallel Reachability in Almost Linear Work and Square Root Depth

Arun Jambulapati, Yang P. Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 21.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 15인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 방향 그래프에서 단일 소스 간선도달성 문제를 위한 병렬 알고리즘을 제안하며, 높은 확률로 거의 선형 작업량($Ϫ{O}(m)$)과 거의 최적의 깊이($n^{1/2+o(1)}$)을 달성한다. 그래프의 지름을 줄이기 위해 새로운 스피드업 기법을 도입하여, CONGEST 모델에서 $Ϫ{O}(n^{1/2} + n^{1/3+o(1)}D^{2/3})$ 라운드 내에 효율적인 분산 계산을 가능하게 하며, 이는 지름 $D = O(n^{1/4-\varepsilon})$ 인 그래프에 대해 거의 최적이다. 이 방법은 랜덤 샘플링, 계층적 분해, 그리고 스피드업 간선을 통한 재귀적 지름 감소 기법을 결합하여 이러한 한계를 달성한다.

ABSTRACT

In this paper we provide a parallel algorithm that given any $n$-node $m$-edge directed graph and source vertex $s$ computes all vertices reachable from $s$ with $ ilde{O}(m)$ work and $n^{1/2 + o(1)}$ depth with high probability in $n$ . This algorithm also computes a set of $ ilde{O}(n)$ edges which when added to the graph preserves reachability and ensures that the diameter of the resulting graph is at most $n^{1/2 + o(1)}$. Our result improves upon the previous best known almost linear work reachability algorithm due to Fineman which had depth $ ilde{O}(n^{2/3})$. Further, we show how to leverage this algorithm to achieve improved distributed algorithms for single source reachability in the CONGEST model. In particular, we provide a distributed algorithm that given a $n$-node digraph of undirected hop-diameter $D$ solves the single source reachability problem with $ ilde{O}(n^{1/2} + n^{1/3 + o(1)} D^{2/3})$ rounds of the communication in the CONGEST model with high probability in $n$. Our algorithm is nearly optimal whenever $D = O(n^{1/4 - ε})$ for any constant $ε> 0$ and is the first nearly optimal algorithm for general graphs whose diameter is $Ω(n^δ)$ for any constant $δ$.

연구 동기 및 목표

• 단일 소스 간선도달성 문제를 위한 병렬 알고리즘을 설계하여 거의 선형 작업량과 $n$에 대해 비선형 깊이($n^{1/2+o(1)}$)를 확보함으로써 이전에 얻어진 깊이 $Ϫ{O}(n^{2/3})$ 보다 향상시키는 것.
• 일반적인 방향 그래프에 대해 거의 최적의 라운드 복잡도를 달성하는 분산 알고리즘을 CONGEST 모델에서 개발함으로써, 특히 무방향 힙 지름 $D$ 가 클 경우에 유리한 성능을 내는 것.
• 도달성 특성을 유지하면서 그래프 지름을 $n^{1/2+o(1)}$ 으로 줄이는 작은 스피드업 간선 집합을 구성하는 것.
• 스피드업셋과 재귀적 분해를 활용하여 분산 및 병렬 간선도달성 문제에서 이론적 하한선과 실질적 성능 간 격차를 메우는 것.

제안 방법

• 원래 그래프에서 길이가 $h$ 이하인 짧은 경로를 나타내는 간선을 갖는 스켈레톤 그래프 $G_T$ 를 구성하기 위해 랜덤 정점 샘플링을 사용한다. 이 그래프의 정점 수는 $Ϫ{O}(n)$ 수준이다.
• 스켈레톤 그래프에 대해 재귀적 병렬 지름 감소 알고리즘 $\textsc{ParallelDiam}$ 을 적용하여, $Ϫ{O}(n)$ 개의 스피드업 간선을 사용해 지름을 $n^{1/2+o(1)}$ 으로 감소시킨다.
• 지름 $D$ 인 그래프에서 도달성은 $O(D)$ 깊이와 $O(m)$ 작업량으로 계산될 수 있으므로, 지름을 줄임으로써 도달성 계산 속도를 높일 수 있다.
• 각 병렬 깊이 단계 이후에 전역 브로드캐스트를 통해 도달성 정보와 스피드업 업데이트를 전파함으로써, 병렬 알고리즘을 CONGEST 모델에서 시뮬레이션한다. 이때 라운드당 $Ϫ{O}(\alpha)$ 개의 메시지를 사용한다.
• 통신 비용과 깊이의 균형을 맞추기 위해 파rameter $\alpha$ (샘플링된 집합 $T$ 의 크기) 를 최적화하여 $Ϫ{O}(n^{1/2} + n^{1/3+o(1)}D^{2/3})$ 라운드를 달성한다.
• 각 재귀 하위 문제에서 자체 스피드업 간선과 레이블을 유지하는 계층적 분해 전략을 사용하며, 리더가 파라미터 선택을 조율한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 병렬 도달성 알고리즘이 거의 선형 작업량과 $n$ 에 대해 비선형 깊이($n^{1/2+o(1)}$)를 갖는 것이 가능한가?
• RQ2 임의의 방향 그래프의 지름을 $n^{1/2+o(1)}$ 으로 줄이는 작은 스피드업 간선 집합을 높은 확률로 구성할 수 있는가?
• RQ3 이러한 지름 감소 기법을 활용하여 CONGEST 모델에서 단일 소스 도달성 문제에 대해 거의 최적의 분산 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ4 분산 알고리즘의 라운드 복잡도는 그래프의 무방향 힙 지름 $D$ 에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ5 병렬 알고리즘을 분산 환경에서 시뮬레이션할 때, 통신 비용과 깊이 사이의 상호 교환 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 논문은 $Ϫ{O}(m)$ 작업량과 $n^{1/2+o(1)}$ 깊이를 갖는 병렬 도달성 알고리즘을 제시하며, 이는 이전에 달성한 최선의 깊이 $Ϫ{O}(n^{2/3})$ 보다 향상된 것이다.
• 알고리즘은 도달성을 유지하면서 그래프 지름을 $n^{1/2+o(1)}$ 으로 줄이는 $Ϫ{O}(n)$ 개의 스피드업 간선 집합을 계산한다. 이는 높은 확률로 성립한다.
• CONGEST 모델에서의 분산 알고리즘은 $Ϫ{O}(n^{1/2} + n^{1/3+o(1)}D^{2/3})$ 라운드 내에 실행되며, $D = O(n^{1/4-\varepsilon})$ 인 경우 거의 최적이다.
• 지름 $D \geq n^{1/4}$ 인 그래프의 경우, $\alpha = n^{2/3}/D^{2/3}$ 로 설정하면 라운드 복잡도가 $Ϫ{O}(D^{2/3}n^{1/3+o(1)})$ 가 되며, 이는 최고의 알려진 하한선에 로그 인자 이내로 일치한다.
• 지름이 큰 일반적인 방향 그래프에 대해 거의 최적의 성능을 달성하며, 이는 $D = \Omega(n^\delta)$ 이고 상수 $\delta > 0$ 인 경우 최초의 거의 최적 알고리즘이다.
• CONGEST 모델에서 병렬 알고리즘을 시뮬레이션할 때, $Ϫ{O}(\alpha + D\alpha^{1/2+o(1)})$ 라운드의 오버헤드가 발생하며, 이는 샘플링 파라미터 $\alpha$ 를 균형 있게 조정함으로써 최적화된다.