[논문 리뷰] Parametrix method and the weak solution to an SDE driven by an $\alpha$-stable noise

Victoria Knopova, Alexei Kulik|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 30.

Stochastic processes and financial applications인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 α-안정 레비 소음에 의해 구동되는 확률미분방정식(SDE)의 약한 해에 대해 전이 밀도를 구성하고 이중 추정을 수립하기 위한 새로운 파라메트릭스 방법을 개발한다. 여기서 생성자는 비퇴화적인 α-안정 수프리미엄 성분과 비율성 항을 모두 포함한다. 주요 기여는 비율성 항이 비제로일 때, 특히 0 < α ≤ 1 인 경우에 비율성 항이 수프리미엄 성분에 의해 지배되기를 요구하지 않는다는 점이다.

ABSTRACT

Let $L:= a(x) (-\Delta)^{-\alpha/2}+ (b(x), abla)$, where $\alpha\in (0,2)$, and $a:\mathbb{R}^d o \mathbb{R}$, $b: \mathbb{R}^d o \mathbb{R}^d$ are H\older continuous. We show that the $C_\infty(\mathbb{R}^d)$-closure of $(L, C_\infty^2(\mathbb{R}^d))$ is the generator of a Feller Markov process $X$, which possesses a transition probability density $p_t(x,y)$. Complete description of this process is given both in terms of a martingale problem and as a weak solution to an SDE driven by an $\alpha$-stable noise. To construct the transition probability density and to obtain the two-sided estimates for it, we develop a new version of the parametrix method, which allows one to handle the case where $0<\alpha\leq 1$ and $b eq 0$; that is, in our approach the gradient part of the generator is not required to be dominated by the jump part.

연구 동기 및 목표

• α ∈ (0,2) 인 경우 생성자가 L = a(x)(-Δ)^{-α/2} + (b(x), ∇) 인 페勒 마코프 과정을 구성하기.
• 관련 과정에 대한 전이 확률 밀도 함수 p_t(x,y)의 존재를 확립하기.
• martingale 문제와 α-안정 소음에 의해 구동되는 SDE의 약한 해로서의 과정을 모두 통한 완전한 특성화 제공하기.
• 비율성 항이 수프리미엄 성분에 의해 지배되기를 요구하지 않는 파라메트릭스 방법을 개발하여, 특히 도전적인 경우인 0 < α ≤ 1 에도 적용 가능하도록 하기.

제안 방법

• 홀더 연속성 계수 a(x)와 b(x)를 갖는 비국소 연산자를 다룰 수 있는 새로운 파라메트릭스 방법을 개발하였다.
• 이 방법은 안정 과정의 전이 밀도를 비율성 및 확산 성분을 이용해 반복적으로 수정함으로써 기본 해를 구성한다.
• a와 b에 대한 홀더 연속성 조건 하에서 파라메트릭스 급수의 수렴을 보였으며, 이는 α ≤ 1 인 경우에도 성립한다.
• α-안정 과정의 척도 성질에 기반하여 반복 커널에 대한 추정을 통해 수렴을 확립하였다.
• 비율성 항이 수프리미엄 성분에 비해 고차수로 간주되지 않더라도 전이 밀도 p_t(x,y)에 대한 이중 추정을 유도할 수 있다.
• 과정은 α-안정 레비 과정에 의해 구동되는 SDE의 약한 해로 특성화되었으며, C_∞(ℝ^d)에서 생성자의 폐쇄를 통해 페러 마코프 성질이 확인되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 0 < α ≤ 1 이고 비율성 항이 비제로일 경우, α-안정 소음을 갖는 SDE에 대해 파라메트릭스 방법을 확장하여 전이 밀도를 구성할 수 있는가?
• RQ2 비율성 항이 수프리미엄 성분에 의해 지배된다고 가정하지 않고도 전이 밀도에 대한 이중 추정을 유도할 수 있는가?
• RQ3 생성자가 L = a(x)(-Δ)^{-α/2} + (b(x), ∇) 인 경우, 이는 어떻게 페러 마코프 과정의 생성자로 실현될 수 있는가?
• RQ4 a(x)와 b(x)에 어떤 조건이 성립하면 α-안정 소음에 의해 구동되는 SDE의 약한 해가 존재하는가?
• RQ5 과정은 마틴갈 문제와 약한 SDE 공식화를 통해 동치로 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• C_∞(ℝ^d)에서 연산자 (L, C_∞^2(ℝ^d))의 폐쇄는 페러 마코프 과정을 생성한다.
• 과정은 (t,x,y)에 대해 연속인 전이 확률 밀도 함수 p_t(x,y)를 갖으며, 이는 이중 추정을 만족한다.
• 파라메트릭스 방법은 0 < α ≤ 1 인 경우에도 성공적으로 밀도와 추정을 구성하였으며, 비지배적 비율성 항의 과제를 극복하였다.
• 이 방법은 비율성 항이 수프리미엄 성분에 의해 지배되기를 요구하지 않아, 이전에는 접근이 어려웠던 영역로의 적용 가능성을 확장하였다.
• 과정은 α-안정 레비 과정에 의해 구동되는 SDE의 약한 해로 특성화되었다.
• 과정은 생성자 L과 관련된 마틴갈 문제를 만족하여, 그 확률적 일관성이 확인되었다.