[논문 리뷰] Partial bi(co)module algebras, globalizations, and partial (L,R)-smash products

Felipe Castro, Antonio Paques외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 19.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 부분 호프 작용의 맥락에서 전역 $(L,R)$-스매시 곱의 일반화로 부분 이(co)모듈 대수를 도입하고, 부분 $(L,R)$-스매시 곱을 구성한다. 부분 $H$-이모듈러 및 이코모듈러 대수의 전역화 조건을 설정하며, $H^0$ 가 점들을 분리할 경우 이러한 전역화가 $H^0$-이모듈러로서 동형임을 증명하고, 부분 $(L,R)$-스매시 곱이 결합법칙을 만족하는 대수임을 보이며, 특정 아이디포턴트 및 작용 조건을 만족할 경우 단위원을 가질 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we introduce the notions of partial bimodule algebra and partial bico- module algebra. We also deal with the existence of globalizations for these structures, generalizing related results appeared in [2, 4]. As an application we construct the partial (L;R)-smash product, extending the corresponding global notion appeared in [14] to the context of partial Hopf actions.

연구 동기 및 목표

• 전역 $(L,R)$-스매시 곱의 개념을 부분 호프 작용의 맥락으로 일반화하기 위해.
• 부분 $H$-이모듈러 및 이코모듈러 대수를 정의하고, 부분 호프 작용의 자연스러운 확장으로서 연구하기 위해.
• 부분 $H$-이모듈러 및 이코모듈러 대수의 전역화의 존재성과 구조를 조사하기 위해.
• 부분 $H$-이모듈러 대수와 부분 $H$-이코모듈러 대수의 부분 $(L,R)$-스매시 곱을 새로운 결합법칙을 만족하는 대수로 구성하기 위해.
• 스매시 곱이 단위원을 갖는 조건을 특정 아이디포턴트 요소와 코안과의 호환성 조건을 통해 규명하기 위해.

제안 방법

• 부분 작용의 충족 조건인 (LPMA1)-(LPMA3)과 그 오른쪽 대응 조건을 만족하는 부분 $H$-이모듈러 대수의 개념을 도입하기 위해.
• 스웨디러 표기법과 유한 쌍대 $H^0$ 를 사용하여, 반대 조건을 만족하는 부분 $H$-이코모듈러 대수를 정의하기 위해.
• 부분 $H$-이코모듈러 대수와 부분 $H^0$-이모듈러 대수 사이의 대응 관계를 설정하고, $H^0$ 가 점들을 분리할 경우 이들의 전역화가 $H^0$-이모듈러로서 동형임을 보여주기 위해.
• 부분 작용과 코작용을 사용하여 곱셈이 $(a\natural u)(b\natural v) = (a\flat u^{+1})(u^{-1}\rightharpoonup b)\natural u^{-0}v^{+0}$ 로 정의된 새로운 대수인 부분 $(L,R)$-스매시 곱 $A\natural\bar{A}$ 를 구성하기 위해.
• 부분 작용과 코작용의 공리에 기반하여 결합법칙을 증명하고, 성분별 계산을 통해 곱셈 규칙을 검증하기 위해.
• 특히 아이디포턴트 요소 $a \in A$ 와 $u \in \bar{A}$ 및 코안과의 호환성 조건을 포함한 충분한 조건을 규명하여, $a\natural u$ 가 $A\natural\bar{A}$ 에서 단위원이 되는지 확인하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분 $H$-이모듈러 대수가 전역화를 갖는 조건는 무엇이며, 부분 $H$-이코모듈러 대수의 전역화와의 관계는 어떠한가?
• RQ2 만약 $H^0$ 가 점들을 분리한다면, 부분 $H$-이모듈러 대수의 전역화와 부분 $H$-이코모듈러 대수의 전역화 사이에 자연스러운 동형사상이 존재하는가?
• RQ3 부분 $H$-이모듈러 대수와 부분 $H$-이코모듈러 대수의 부분 $(L,R)$-스매시 곱이 단위원을 지닐 수 있는가? 어떤 조건이 이를 보장하는가?
• RQ4 부분 작용과 코작용의 공리들이 부분 $(L,R)$-스매시 곱의 결합법칙을 보장하기 위해 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 부분 $(L,R)$-스매시 곱에 단위원을 구성하는 데 있어 $A$ 와 $\bar{A}$ 의 아이디포턴트 요소는 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 만약 $H^0$ 가 점들을 분리한다면, 부분 $H$-이모듈러 대수의 전역화와 부분 $H$-이코모듈러 대수의 전역화는 $H^0$-이모듈러로서 동형이다.
• 정의된 곱셈 규칙 하에서 부분 $(L,R)$-스매시 곱 $A\natural\bar{A}$ 는 부분 작용과 코작용의 공리를 직접 계산을 통해 검증함으로써 결합법칙을 만족하는 대수이다.
• 만약 $a \in A$ 와 $u \in \bar{A}$ 가 영이 아닌 아이디포턴트이며, $h\rightharpoonup a = \varepsilon(h)a$ 와 $a\leftharpoonup h = \varepsilon(h)a$ 를 만족하고, $\rho(u) = u \otimes 1_H$, $\lambda(u) = 1_H \otimes u$ 를 만족한다면, $a\natural u$ 는 $A\natural\bar{A}$ 에서 아이디포턴트이다.
• 만일 모든 네 가지 조건 (1)-(4) 가 만족된다면, $a\natural u$ 는 $A\underline{\natural}\bar{A}$ 에서 양방향 항등원이 되며, 이로 인해 $A\underline{\natural}\bar{A}$ 는 항등원 $a\natural u$ 를 갖는 단위원 대수가 된다.
• 이 구성은 표준 스매시 곱과 전역 $(L,R)$-스매시 곱을 일반화하여, 부분 설정으로 확장한다.
• 특정 예시에서 $H = \mathbb{H}_4$, $A = \bar{A} = \Bbbk$ 이고, 부분 작용과 코작용을 특정로 정의할 경우 $(1_\Bbbk \natural 1_\Bbbk)^2 = 0$ 가 가능하여, $r, s, t, u$ 에 대한 조건이 충족되지 않으면 단위원이 존재하지 않을 수 있음을 보여준다.