[논문 리뷰] Partial Hopf actions, partial invariants and a Morita context

Marcelo Muniz, Eliezer Batista|ArXiv.org|2009. 01. 08.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 10인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 단위 대수 $A$ 위에 유한 차원 호프 대수 $H$ 가 부분적으로 작용할 때, 부분 불변량 $A^{\mathfrak{H}}$ 와 부분 스매시 곱 $\mathfrak{A\#H}$ 사이의 모리타 맥락을 수립한다. 이는 기존의 호프 대수 이론에서의 모리타 이론을 부분적 상황으로 일반화하며, 캐논컬 맵의 전사성과 비영인 적분의 존재 조건 하에서, 이 맥락이 엄격함이 되는 것은 $A^{\mathfrak{H}} \subset A$ 확장이 호프-갈로와스임과 동치임을 증명한다.

ABSTRACT

Partial actions of Hopf algebras can be considered as a generalization of partial actions of groups on algebras. Among important properties of partial Hopf actions, it is possible to assure the existence of enveloping actions. This allows to extend several results from the theory of partial group actions to the Hopf algebraic setting. In this article, we explore some properties of the fixed point subalgebra with relations to a partial action of a Hopf algebra. We also construct, for partial actions of finite dimensional Hopf algebras a Morita context relating the fixed point subalgebra and the partial smash product. This is a generalization of a well known result in the theory of Hopf algebras for the case of partial actions. Finally, we study Hopf-Galois extensions and reobtain some classical results in the partial case.

연구 동기 및 목표

• 기존의 호프 대수 이론에서의 모리타 이론을 부분 호프 작용의 설정으로 일반화하기 위해.
• 유한 차원 호프 대수에 대해 부분 불변량 $A^{\mathfrak{H}}$ 와 부분 스매시 곱 $\mathfrak{A\#H}$ 사이의 모리타 맥락을 구성하기 위해.
• 이 모리타 맥락이 엄격한지의 조건을 호프-갈로와스 성질을 이용해 특성화하기 위해.
• 부분 작용 프레임워크 내에서 기존의 호프-갈로와스 확장 이론에 대한 고전 결과를 재획득하기 위해.

제안 방법

• 부분 $H$-작용에 대해 고정된 원소들로 이루어진 부분대수로서 부분 불변량 $A^{\mathfrak{H}}$ 를 정의한다.
• 모듈의 이중구조를 이용해 $A$ 를 $A^{\mathfrak{H}}$ 와 $\mathfrak{A\#H}$ 에 대해 이중모듈로 다루며, 쌍대화 지도 $[\cdot,\cdot]$ 와 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 를 포함한 모리타 맥락을 구성한다.
• 포괄적 작용의 존재를 이용해 부분 스매시 곱을 전체 스매시 곱 $B\#H$ 와 연결함으로써 결과를 이전할 수 있도록 한다.
• 호프 대수 $H$ 의 유한 차원성과 비영인 적분 $t$ 의 존재를 활용하여, $\varphi \mapsto t \leftharpoonup \varphi$ 를 통해 $\theta: H^* \to H$ 의 동형사상 정의한다.
• 캐논컬 맵 $\beta: A \otimes_{A^{\mathfrak{H}}} A \to \mathfrak{A \otimes H^*}$ 를 $\beta(a \otimes b) = ab^{[0]} \otimes b^{[1]}$ 로 정의하여 전사 조건을 연결한다.
• 캐논컬 맵 $\beta$ 의 전사성, 쌍대화 지도 $[\cdot,\cdot]$ 의 전사성, 그리고 확장 $A^{\mathfrak{H}} \subset A$ 가 호프-갈로와스임의 조건 사이의 동치성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분 $H$-작용에 대해 $A^{\mathfrak{H}}$ 와 $\mathfrak{A\#H}$ 사이의 모리타 맥락이 엄격해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 캐논컬 맵 $\beta$ 의 전사성은 확장 $A^{\mathfrak{H}} \subset A$ 가 호프-갈로와스임과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 기존의 호프-갈로와스 확장 이론의 결과들이 부분 호프 작용의 프레임워크 안에서 재획득 가능한가?
• RQ4 호프 대수 $H$ 의 유한 차원성과 비영인 적분 $t$ 의 존재는 모리타 맥락 구성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 포괄적 작용을 통해 부분 스매시 곱 $\mathfrak{A\#H}$ 는 전체 스매시 곱 $B\#H$ 와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 부분 $H$-작용에 대해 $A^{\mathfrak{H}}$ 와 $\mathfrak{A\#H}$ 사이의 모리타 맥락이 엄격함이 되는 것은 $A^{\mathfrak{H}} \subset A$ 가 부분 $H^*$-갈로와스임과 동치이다.
• 캐논컬 맵 $\beta: A \otimes_{A^{\mathfrak{H}}} A \to \mathfrak{A \otimes H^*}$ 의 전사성은 쌍대화 지도 $[\cdot,\cdot]: A \otimes_{A^{\mathfrak{H}}} A \to \mathfrak{A\#H}$ 의 전사성과 동치이다.
• $[\cdot,\cdot]$ 는 $\theta: H^* \to H$ 의 동형사상과 관련이 있으며, $[a,b] = (I \otimes \theta)(\beta(a \otimes b))$ 로 표현된다.
• 부분 불변량 $A^{\mathfrak{H}}$ 는 모듈 $\mbox{End}({}_{\mathfrak{A\#H}}A)^{op}$ 의 반대대수와 동형이다.
• 만약 $A$ 가 $A^{\mathfrak{H}}$ 에 대해 유한 생성된 프로젝티브 오른쪽 모듈이라면, 확장 $A^{\mathfrak{H}} \subset A$ 가 호프-갈로와스임과 $\beta$ 가 전사임은 동치이다.
• 비영인 적분 $t$ 가 $H$ 에 존재하면, 이는 동형사상 $\theta$ 를 구성하는 데 필수적이며, 캐논컬 맵 $\beta$ 와 쌍대화 지도 $[\cdot,\cdot]$ 를 연결하는 데 핵심적인 역할을 한다.