[논문 리뷰] Partially ordered patterns and compositions

Silvia Heubach, Sergey Kitaev외 1명|ArXiv.org|2006. 10. 01.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 16인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 정수 분할에서 부분순서가 붙은 패턴(Partially Ordered Patterns, POPs)을 도입하고 분석하며, 이는 이전의 순열과 단어에서의 패턴 회피 이론을 확장한 것이다. 이 논문은 분할에서 세그먼티드 POP의 겹치지 않는 최대 발생 수에 대한 q-아날로그 생성함수를 유도하며, Kitaev(2006)와 Kitaev 및 Mansour(2006)의 결과를 생성함수 기법과 다중패턴 회피를 활용하여 분할 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

A partially ordered (generalized) pattern (POP) is a generalized pattern some of whose letters are incomparable, an extension of generalized permutation patterns introduced by Babson and Steingrimsson. POPs were introduced in the symmetric group by Kitaev [Partially ordered generalized patterns, Discrete Math. 298 (2005), 212-229; Introduction to partially ordered patterns, Discrete Appl. Math., to appear], and studied in the set of $k$-ary words by Kitaev and Mansour [Partially ordered generalized patterns and $k$-ary words, Annals of Combinatorics 7 (2003) 191-200]. Moreover, Kitaev et al. [S. Kitaev, T. McAllister and K. Petersen, Enumerating segmented patterns in compositions and encoding with restricted permutations, preprint] introduced segmented POPs in compositions. In this paper, we study avoidance of POPs in compositions and generalize results for avoidance of POPs in permutations and words. Specifically, we obtain results for the generating functions for the number of compositions that avoid shuffle patterns and multi-patterns. In addition, we give the generating function for the distribution of the maximum number of non-overlapping occurrences of a segmented POP $τ$ (that is allowed to have repeated letters) among the compositions of $n$ with $m$ parts in a given set, provided we know the generating function for the number of compositions of $n$ with $m$ parts in the given set that avoid $τ$. This result is a $q$-analogue of the main result in [S. Kitaev, T. Mansour, Partially ordered generalized patterns and $k$-ary words, Annals of Combinatorics 7 (2003) 191-200].

연구 동기 및 목표

• 순열과 단어에서의 패턴 회피 이론을 부분순서가 붙은 패턴(POPs)을 활용해 분할로 확장하는 것.
• 순열과 단어에서의 결과에 유사하게, 분할에서 패턴의 겹치지 않는 최대 발생 수에 대한 생성함수를 일반화하는 것.
• Kitaev 및 Mansour(2006)의 단어에 대한 주요 결과의 q-아날로그를 도출하여 이제 분할에 적용 가능한 형태로 만드는 것.
• 특히 셔플 패턴과 다중패턴을 포함한 POPs를 회피하는 분할에 대한 생성함수를 계산하는 프레임워크를 수립하는 것.

제안 방법

• 주어진 집합 A의 원소를 부분으로 가지는 분할의 수를 모델링하기 위해 생성함수를 사용하며, 이는 POP을 회피하는 경우를 대상으로 한다.
• Theorem 3.7를 활용해 POP τ를 여러 번 연결하여 형성된 다중패턴에 적용함으로써, 겹치지 않는 발생 수에 대한 생성함수를 도출한다.
• 변수 x(합 n에 대한)와 y(부분 수 m에 대한)를 포함하는 이변수 생성함수를 도입하며, 추가로 t 매개변수를 사용해 패턴의 겹치지 않는 최대 발생 수를 추적한다.
• 재귀적 분해와 전단사 증명을 통해 겹치지 않는 POP 발생 수의 분포에 대한 닫힌 표현식을 도출한다.
• 단일 POP τ의 회피를 위한 기존의 생성함수를 활용하여, 유리함수 표현식을 통해 전체 분포를 구성한다.
• 특히 내림막 패턴(12)의 경우에 적용하여, 겹치지 않는 내림막의 최대 수(MND)에 대한 명시적 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분순서가 붙은 패턴(POPs)의 개념을 정수 분할의 맥락으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 특히 세그먼티드 패턴인 경우, 주어진 POP을 회피하는 분할의 수에 대한 생성함수는 무엇인가?
• RQ3 순열과 단어에서의 결과에 유사하게, 분할에 대해 겹치지 않는 발생 수의 분포에 대한 q-아날로그를 도출할 수 있는가?
• RQ4 주어진 집합 A의 부분을 가지는 분할 전역에서, 세그먼티드 POP τ의 겹치지 않는 최대 발생 수는 어떻게 분포하는가?
• RQ5 부분이 집합 A에 속하는 분할에서 겹치지 않는 내림막의 최대 수(MND)에 대한 생성함수는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 세그먼티드 POP τ의 분할에서 겹치지 않는 최대 발생 수의 분포에 대한 q-아날로그 생성함수를 도출하며, Kitaev 및 Mansour(2006)의 단어에 대한 정리 5.1을 일반화한다.
• 임의의 양의 정수로 이루어진 순서 집합 A와 연속 패턴 τ에 대해, τ-nlap(σ)의 분포에 대한 생성함수는 C_τ^A(x,y) / [1 - t((y∑_{a∈A} x^a - 1)C_τ^A(x,y) + 1)] 로 주어진다.
• τ가 내림막 패턴 12일 경우, MND에 대한 생성함수는 1 / [(1−x)(1−x²) − x³t] 로 명시적으로 계산되며, t에 대한 급수 전개를 통해 겹치지 않는 내림막의 분포를 보여준다.
• s개의 τ 복사본으로 이루어진 다중패턴을 회피하는 분할의 생성함수는 Theorem 3.7를 통해 재귀적으로 표현되며, 생성함수 조작을 통해 전체 분포를 도출할 수 있다.
• 이 방법은 순열과 단어에서의 회피 프레임워크를 분할로 성공적으로 일반화하며, 이 새로운 맥락에서 POP 회피를 체계적으로 다룰 수 있는 접근법을 제공한다.
• 결과적으로, POP의 겹치지 않는 발생 수를 분석하기 위한 완전한 생성함수 프레임워크를 수립하였으며, 내림막과 같은 주요 케이스에 대해 명시적 공식을 제공한다.