[논문 리뷰] Simultaneous avoidance of generalized patterns

Sergey Kitaev, Toufik Mansour|ArXiv.org|2002. 05. 16.

semigroups and automata theory참고 문헌 20인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 3-패턴 123, 231, 312를 동시에 피하는 순열의 열거에서 마지막 미해결 케이스를 해결하며, 그들의 지수 생성함수를 유도한다. 또한 구조적 분해와 생성함수 기법을 사용하여 특정 k-패턴(증가, 감소, 순환 이동 포함)으로 시작하거나 끝나는 특정 일반화된 3-패턴을 피하는 순열에 대한 생성함수와 정확한 공식을 제공한다.

ABSTRACT

In [BabStein] Babson and Steingr\'ımsson introduced generalized permutation patterns that allow the requirement that two adjacent letters in a pattern must be adjacent in the permutation. In [Kit1] Kitaev considered simultaneous avoidance (multi-avoidance) of two or more 3-patterns with no internal dashes, that is, where the patterns correspond to contiguous subwords in a permutation. There either an explicit or a recursive formula was given for all but one case of simultaneous avoidance of more than two patterns. In this paper we find the exponential generating function for the remaining case. Also we consider permutations that avoid a pattern of the form $x-yz$ or $xy-z$ and begin with one of the patterns $12... k$, $k(k-1)... 1$, $23... k1$, $(k-1)(k-2)... 1k$ or end with one of the patterns $12... k$, $k(k-1)... 1$, $1k(k-1)... 2$, $k12... (k-1)$. For each of these cases we find either the ordinary or exponential generating functions or a precise formula for the number of such permutations. Besides we generalize some of the obtained results as well as some of the results given in [Kit3]: we consider permutations avoiding certain generalized 3-patterns and beginning (ending) with an arbitrary pattern having either the greatest or the least letter as its rightmost (leftmost) letter.

연구 동기 및 목표

• 내부 하이픈이 없는 세 개의 3-패턴을 동시에 피하는 분류를 완료하여, 123, 231, 312의 피하기라는 마지막 미해결 케이스를 해결한다.
• 12...k, k(k-1)...1, 23...k1, 또는 (k-1)...1k와 같은 특정 k-패턴으로 시작하거나 끝나는 x-xy 또는 xy-z 형식의 일반화된 3-패턴을 피하는 순열을 특성화한다.
• 최대 또는 최소 원소가 끝이나 처음에 위치하는 패턴으로 확장하여, 초기 또는 최종 패턴 제약 조건이 있는 패턴-피하는 순열에 대한 이전 결과를 일반화한다.
• 구조적 분해와 생성함수 항등식을 사용하여, 일반화된 3-패턴을 피하고 초기/최종 패턴 제약 조건을 만족하는 순열에 대한 종합적인 생성함수 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 재귀적 분해와 생성함수 조작을 사용하여, 123, 231, 312 세 개의 3-패턴을 피하는 순열의 지수 생성함수(e.g.f.)를 유도한다.
• 역순 및 보완 연산을 사용하여, 특정 패턴으로 시작하는 순열과 관련된 패턴으로 끝나는 순열 간의 관계를 설정하고, 대칭 기반 축소를 가능하게 한다.
• 구조적 분해 적용: 감소 또는 증가하는 부분어레이로 끝나는 순열의 경우, 특정 패턴을 독립적으로 피하는 접두사 및 접미사 성분으로 분리한다.
• 예를 들어 $ B_{n+1,k} = inom{n}{i} B_{i,k} + inom{n}{k-1} $ 와 같은 순열 수에 대한 재귀 관계를 수립하고, 지수 생성함수를 사용하여 해를 구한다.
• 기존의 패턴-피하는 순열 결과(예: 1-3-2 피하기)를 활용하고, 반전 및 보완을 통해 새로운 생성함수를 도출한다.
• 지수함수 $ e^{e^x} $ 및 $ e^{-e^t + t} $ 를 포함하는 적분 표현을 사용하여, 감소하는 k-패턴으로 시작하고 3-12 또는 3-21를 피하는 순열의 생성함수를 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 123, 231, 312 세 개의 일반화된 3-패턴을 동시에 피하는 순열에 대한 지수 생성함수는 무엇인가?
• RQ2 12...k 또는 k(k-1)...1과 같은 특정 k-패턴으로 시작하고, 일반화된 3-패턴 x-xy 또는 xy-z를 피하는 순열의 수는 얼마인가?
• RQ3 최대 또는 최소 원소가 초기 세그먼트의 특정 위치에 있을 경우, 일반화된 3-패턴을 피하고 k-패턴으로 시작하는 순열의 수는 어떻게 달라지는가?
• RQ4 k-패턴으로 시작하는 순열에 대한 결과를, 최대 또는 최소 원소가 끝이나 처음에 위치하는 패턴으로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 3-12를 피하고 감소하는 k-패턴으로 시작하는 순열에 대한 생성함수는 무엇인가?

주요 결과

• 123, 231, 312 세 개의 패턴을 동시에 피하는 순열에 대한 지수 생성함수를 유도하여, 세 개의 3-패턴을 동시에 피하는 분류를 완성한다.
• 12…k 패턴으로 시작하고 2-31를 피하는 순열에 대한 지수 생성함수는 $ x^k C^2(x) $ 이며, 여기서 $ C(x) $ 는 카탈란 수의 생성함수이다.
• 2-31를 피하고 $ (k-1)(k-2)\ldots 1k $ 패턴으로 시작하는 순열의 수는 $ n \geq k $ 일 때 $ C_{n-(k-1)} $ 이고, 그 외에는 0이다.
• 3-12를 피하고 감소하는 k-패턴으로 시작하는 순열에 대한 지수 생성함수는 $ k \geq 2 $ 일 때 $ \left(e^{e^x}/(k-1)\right) \int_0^x t^{k-1} e^{-e^t + t} dt $ 이고, $ k=1 $ 일 때는 $ e^{e^x - 1} $ 이다.
• 3-21를 피하고 $ (k-1)(k-2)\ldots 1k $ 패턴으로 시작하는 순열의 수는 $ k \geq 4 $ 일 때 0이며, $ k=2,3 $ 일 때는 동일한 적분 생성함수로 주어지고, $ k=1 $ 일 때는 $ e^{e^x - 1} $ 이다.
• 정리 28은 3-12 및 3-21 피하기 결과를 일반화하여, $ \Gamma_k^{\min} $ 또는 $ \Gamma_k^{\max} $ 패턴으로 시작하는 순열의 생성함수가 보완과 패턴 이중성에 의해 동일함을 보이고, $ e^{e^x} $ 와 적분을 포함하는 통합 표현을 도출한다.