[논문 리뷰] Path regularity of coupled McKean-Vlasov FBSDEs

Christoph Reisinger, Wolfgang Stockinger외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리프시츠 조건 하에서 리프시츠 분리장 가정을 사용하여, 결합된 매킨-블라소프 전진-후행 확률미분방정식(MV-FBSDEs)의 해에 대해 시간에 대한 1/2-홀더 연속성을 확립한다. 이 결과는 입자 시스템과 시간 스텝 수치 방법의 수치 근사 및 수렴 분석에 필수적인 경로 정규성 보장한다.

ABSTRACT

This paper establishes Hölder time regularity of solutions to coupled McKean-Vlasov forward-backward stochastic differential equations (MV-FBSDEs). This is not only of fundamental mathematical interest, but also essential for their numerical approximations. We show that a solution triple to a MV-FBSDE with Lipschitz coefficients is 1/2-Hölder continuous in time in the $L^p$-norm provided that it admits a Lipschitz decoupling field. Special examples include decoupled MV-FBSDEs, coupled MV-FBSDEs with a small time horizon and coupled stochastic Pontryagin systems arsing from mean field control problems.

연구 동기 및 목표

• 일반 리프시츠 계수를 가진 완전히 결합된 매킨-블라소프 FBSDEs의 해에 대한 경로 정규성을 확립하는 것.
• 기존의 FBSDEs와 달리, 비가역 확산과 강한 결합성을 가진 MV-FBSDEs에 대해 정규성 결과의 부족을 해결하는 것.
• 입자 근사 및 시간 이산화 방법을 포함한 수치 분석의 기초를 제공하는 것.
• 작은 시간 수평과 일반화된 단조성과 같은 실용적 조건 하에서 정규성을 검증하는 것.

제안 방법

• 해의 존재성과 안정성을 증명하기 위해 매개수 λ ∈ [0,1]를 가진 방정식의 가속화된 가족(A.1)을 이용한 계속성 방법을 사용한다.
• 적합한 바나흐 공간 내의 적응 과정에 대해 바나흐의 고정점 정리 적용을 통해 수축성을 보여준다.
• 해의 삼중체 (X, Y, Z)의 시간 정규성을 제어하기 위해 분리장 가정을 활용한다.
• 사전 추정과 그론월르 유형의 추론을 통해 모멘트 경계와 경로 정규성 추정을 유도한다.
• 표준 도함수 표현이 없는 평균장 설정에 적합하게, 말리아빈 미분법과 첫 번째 변위 과정을 활용한다.
• 분리장 조건 하에서 핵심 정규성 추정식 (1.2)와 (1.3)을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건 하에서 결합 MV-FBSDE의 해가 시간에 대해 1/2-홀더 연속적인 경로를 가지는가?
• RQ2 평균장 의존성으로 인해 표준 말리아빈 도함수 표현이 실패할 경우, MV-FBSDEs에 대한 경로 정규성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 MV-FBSDEs에 대해 리프시츠 분리장이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 비가역 확산과 일반 리프시츠 계수를 가진 결합 시스템으로 정규성이 확장될 수 있는가?
• RQ5 시간 수평의 크기는 MV-FBSDEs의 정규성과 해의 존재성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 리프시츠 계수를 가진 MV-FBSDEs의 해는 리프시츠 분리장이 존재할 경우, L^p-노름에서 시간에 대해 1/2-홀더 연속적이다.
• 정규성 추정식 (1.2)와 (1.3)은 p와 초기 조건 ξ₀에만 의존하는 상수를 가진다.
• 분리장 조건은 분리된 MV-FBSDEs, 작은 시간 수평, 일반화된 단조성 시스템에서 만족된다.
• 해 삼중체 (X, Y, Z)는 시간에 대해 균일한 모멘트 경계를 만족하여 안정성과 적분 가능성 보장한다.
• 매개수 λ ∈ [0,1]를 사용한 계속성 방법은 분리장 가정 하에서 유일한 해 존재성과 확률적 안정성을 증명한다.
• 이 결과는 평균장 제어 및 게임 문제에서 입자 근사 및 시간 스텝 수치 방법의 수렴 분석을 지원한다.