[논문 리뷰] Pathwise asymptotics for Volterra type stochastic volatility models

M. Cellupica, Barbara Pacchiarotti|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 15.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 가우시안 볼테라 과정에 의해 구동되는 볼테라 유형의 확률적 볼륨 모델에서 로그 가격 과정에 대해 경로 기반의 대규모 편차 원리를 수립한다. 샤강티의 정리(Chaganty's theorem)를 이용하여, 연속적인 분포와 마진 분포에 대한 대규모 편차 원리를 적용함으로써 속도 $\varepsilon_n^{-2}$를 갖는 샘플 경로 대규모 편차 원리를 도출한다. 이는 이전 결과들을 무한차원 설정으로 일반화하며, 상관된 확률적 볼륨과 드리프트 항을 허용한다.

ABSTRACT

We study stochastic volatility models in which the volatility process is a positive continuous function of a continuous Volterra stochastic process. We state some pathwise large deviation principles for the scaled log-price.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 가우시안 볼테라 과정을 갖는 무한차원 볼테라 유형의 확률적 볼륨 모델로 대규모 편차 원리를 확장하는 것.
• 드리프트 및 볼륨 함수에 대한 최소한의 정규성 가정 하에 로그 가격 과정에 대한 소음이 작은 경로 기반 대규모 편차 원리를 수립하는 것.
• 포르데(Forde), 장(J. Zhang), 구리사시비리(Gulisashvili)의 이전 결과를 상관된 확률적 볼륨과 비영인 드리프트를 갖는 모델로 일반화하는 것.
• 프리드린-웬츠엘 이론에 의존하지 않고 샤강티의 정리를 기반으로 한 새로운 분석적 프레임워크를 제공하는 것.
• 공분산 구조 분석을 통해 분수 모델, 예를 들어 분수 오르누이엔 베르누이 과정(fractional Ornstein-Uhlenbeck process)이 이 틀에 어떻게 들어가는지 및 그 점근적 행동을 보여주는 것.

제안 방법

• 드리프트 $\mu(\hat{B}_t)$ 와 볼륨 $\sigma(\hat{B}_t)$ 를 갖는 확률적 미분 방정식을 사용하여 자산 가격 역학을 수식화하며, 여기서 $\hat{B}_t$ 는 볼테라 가우시안 과정이다.
• 볼륨과 볼테라 과정에 소음 스케일링 $\varepsilon_n$ 을 도입하여 스케일링된 로그 가격 $Z_t^n = \log S_t^n$ 을 정의한다.
• 샘플 경로 대규모 편차 원리를 유도하기 위해 샤강티의 정리를 연속 및 마진 분포에 대한 대규모 편차에 적용한다.
• 근사 가족 $\hat{B}^n$ 의 지수적 안정성(Exponential tightness)을 확보하여 대규모 편차 원리의 수렴을 보장한다.
• 이중 단계 근사: 먼저 $\hat{B}^n$ 의 조각별 일정한 근사값을 갖는 수열 $Z^{n,m}$ 을 정의하고, 그 다음 $Z^n$ 과의 지수적 동치성을 증명한다.
• 경로의 도함수와 볼륨 구조에 의존하는 $H^1_0[0,T]$ 노름과 이차 변동항을 포함하는 명시적 양호한 비용 함수 $I_Z(x)$ 를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 가우시안 볼테라 과정을 갖는 볼테라 유형의 확률적 볼륨 모델에서 로그 가격 과정에 대해 경로 기반 대규모 편차 원리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 비영인 드리프트 항과 상관된 확률적 볼륨이 대규모 편차 비용 함수에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ3 샤강티의 정리는 무한차원 설정에서 대규모 편차를 도출하기 위해 프리드린-웬츠엘 이론의 타당한 대체 수단이 될 수 있는가?
• RQ4 핵함수 $K(t,s)$ 와 함수 $\mu$, $\sigma$ 에 어떤 조건이 성립하면 대규모 편차 원리의 타당성이 보장되는가?
• RQ5 분수 모델, 예를 들어 분수 오르누이엔 베르누이 과정은 이 틀에 어떻게 들어가며, 그 점근적 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 속도 $\varepsilon_n^{-2}$ 를 갖는 스케일링된 로그 가격 과정 $Z_t^n$ 에 대해 경로 기반 대규모 편차 원리가 수립되었으며, 이는 연속적인 $\mu$ 와 양의 연속적인 $\sigma$ 에 대해 유효하다.
• 양호한 비용 함수는 $x \in H_0^1[0,T]$ 에 대해 $I_Z(x) = \inf_{f \in H_0^1[0,T]} \left[ \frac{1}{2}\|f\|_{H_0^1}^2 + \frac{1}{2}\int_0^T \left( \frac{\dot{x}(t) - \mu(\hat{f}(t)) - \rho \dot{\Psi}(f,\hat{f})(t)}{\bar{\rho} \sigma(\hat{f}(t))} \right)^2 dt \right] $ 으로 주어지며, 그 외의 경우 $+\infty$ 이다.
• 포르데와 장, 구리사시비리의 이전 연구를 상관된 볼륨과 드리프트를 갖는 모델로 일반화하였으며, 더 약한 정규성 조건 하에서도 성립한다.
• 볼테라 과정 $\hat{B}^n$ 의 지수적 안정성 덕분에, 무한차원 설정에서도 대규모 편차 원리의 타당성이 보장된다.
• 분수 오르누이엔 베르누이 과정의 경우, 대규모 편차 속도는 $\varepsilon_n^{-2H}$ 이며, 비용 함수는 동일한 구조를 유지한다. 여기서 $\hat{f}(t) = \int_0^t K_H(t,s) \dot{f}(s) ds$ 이다.
• 프리드린-웬츠엘 이론을 회피하고 샤강티의 정리를 이용함으로써, 공동 및 마진 분포에 대한 비용 함수를 보다 직접적으로 도출할 수 있다.