[논문 리뷰] Pathwise stochastic integrals for model free finance

Nicolas Perkowski, David J. Pr omel|RePEc: Research Papers in Economics|2013. 11. 24.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 확률적 가정 없이 연속시간 금융수학에서 두 가지 모델 자유(stochastic integration) 프레임워크를 제안한다. 첫 번째는 Vovk의 외측 측도(최소 초과헤지 가격)에 의해 유도된 위상(위상)을 사용하며, 이는 Itô 적분을 càdlàg 적응 과정으로 연속적으로 확장할 수 있게 한다. 두 번째는 통제된 난류 경로 이론을 활용하여, 일반적인 가격 경로가 자연스럽게 Itô 난류 경로를 지닌다는 것을 증명하고, 난류 경로 적분이 비예측적 리만 합의 극한으로 나타남을 보여주며, 범주 공간 구조를 유지하면서도 금융적 직관을 유지한다.

ABSTRACT

We present two different approaches to stochastic integration in frictionless model free financial mathematics. The first one is in the spirit of Itô's integral and based on a certain topology which is induced by the outer measure corresponding to the minimal superhedging price. The second one is based on the controlled rough path integral. We prove that every "typical price path" has a naturally associated Itô rough path, and justify the application of the controlled rough path integral in finance by showing that it is the limit of non-anticipating Riemann sums, a new result in itself. Compared to the first approach, rough paths have the disadvantage of severely restricting the space of integrands, but the advantage of being a Banach space theory. Both approaches are based entirely on financial arguments and do not require any probabilistic structure.

연구 동기 및 목표

• 모델 자유, 마찰 없는 금융수학에서 확률적 또는 반마르팅게일 구조를 가정하지 않고 엄밀한 확률적 적분 이론을 개발하기 위해.
• 이전 접근법의 한계(유계 변동성 또는 이차 변동성 제약)를 극복하기 위해 더 일반적이고 연속적인 적분 프레임워크를 구축하기 위해.
• 난류 경로 이론의 범주 공간 구조와 비예측적 거래 전략의 금융적 해석 가능성 간의 조화를 이루기 위해.
• 비예측적 리만 합의 극한으로서 통제된 난류 경로 적분이 유도됨을 증명함으로써, 이를 금융적으로 타당하게 만드는 데 목적이 있다.

제안 방법

• Vovk의 게임 이론적 외측 측도를 사용하여, 연속 경로 공간 위에 위상을 유도한다. 이 측도는 경로 기반 최소 초과헤지 가격으로 정의된다.
• 이 위상 하에서 단계 함수 적분의 연속적 확장을 통해 모델 자유 Itô 적분을 정의하며, 이는 càdlàg 적응 과정에 적용 가능하다.
• 모든 일반적인 가격 경로(즉, Vovk의 의미에서)는 자연스럽게 Itô 난류 경로를 지닌다는 것을 증명한다. 이는 모델 자유 금융에서 통제된 난류 경로 이론의 적용을 가능하게 한다.
• 약한 정규성 조건 하에서 통제된 난류 경로 적분이 비예측적 리만 합의 극한임을 증명하며, 보정된 합을 피한다.
• Davie의 기준을 적용하여, 허더 및 영역 정규성 조건 하에서 표준 리만 합이 난류 경로 적분으로 수렴함을 보여준다.
• 난류 경로 적분이 이전의 프레임워크를 일반화하고 통합함을 보여준다: 유계 변동성, 영, Föllmer의 경로 기반 Itô 적분.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가격 경로에 대해 확률적 또는 반마르팅게일 구조를 가정하지 않고도 연속적이고 모델 자유의 확률적 적분을 구성할 수 있는가?
• RQ2 일般적으로 보정된 리만 합을 통해 정의되는 통제된 난류 경로 적분은 비예측적 리만 합의 극한으로서 금융적 해석을 가질 수 있는가?
• RQ3 모델 자유 Itô 적분은 금융적 위상 하에서 càdlàg 적응 피적분자로 연속성을 유지하면서 확장될 수 있는가?
• RQ4 Föllmer의 경로 기반 Itô 적분은 모델 자유 설정에서 통제된 난류 경로 적분의 특수한 경우인가?
• RQ5 보정 없이 비예측적 리만 합의 수렴을 보여줌으로써 난류 경로 적분을 금융에서 엄밀히 정당화할 수 있는가?

주요 결과

• Vovk의 외측 측도에 의해 유도된 위상에 대해 모델 자유 Itô 적분은 연속적이며, 이는 càdlàg 적응 피적분자로의 확장을 가능하게 한다.
• Vovk의 의미에서의 모든 일반적인 가격 경로는 자연스럽게 Itô 난류 경로를 지닌다. 이는 모델 자유 금융에서 통제된 난류 경로 이론의 적용을 가능하게 한다.
• 약한 정규성 조건 하에서 통제된 난류 경로 적분이 비예측적 리만 합의 극한임이 입증되었으며, 이는 그 사용에 대한 핵심 철학적 우려를 해결한다.
• 난류 경로 적분은 이전의 방법들을 일반화하고 통합한다: 유계 변동성, 영, Föllmer의 경로 기반 Itô 적분.
• Davie의 기준에 따르면, 허더 및 영역 정규성 조건 하에서 난류 경로 적분이 표준 리만 합으로 수렴함을 보여주며, 보정 없이도 그 사용을 정당화한다.
• 이 논문은 Föllmer의 경로 기반 Itô 적분이 모델 자유 맥락에서 통제된 난류 경로 적분의 특수한 경우임을 처음으로 엄밀히 증명한다.