[논문 리뷰] Pathwise unique solutions and stochastic averaging for mixed stochastic partial differential equations driven by fractional Brownian motion and Brownian motion

Bin Pei, Yuzuru Inahama외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 40인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 허스트 매개수 $ H > 1/2 $ 를 가진 분수 Browian 운동(fBm)과 표준 Browian 운동에 의해 구동되는 혼합 확률 편미분 방정식(mixed SPDEs)에 대해 경로 유일한 해와 확률적 평균화 원리를 수립한다. 일반화된 Stieltjes 적분 이론을 기반으로 한 경로 기반 접근법과 정지 시간 기법, fBm의 근사화를 결합하여 저자들은 해의 존재성과 유일성을 증명하고, 빠른 성분의 확산 과정의 불변 측도에 의존하는 느린 성분의 극한 과정을 평균 제곱 의미에서 도출한다.

ABSTRACT

This paper is devoted to a system of stochastic partial differential equations (SPDEs) that have a slow component driven by fractional Brownian motion (fBm) with the Hurst parameter $H >1/2$ and a fast component driven by fast-varying diffusion. It improves previous work in two aspects: Firstly, using a stopping time technique and an approximation of the fBm, we prove an existence and uniqueness theorem for a class of mixed SPDEs driven by both fBm and Brownian motion; Secondly, an averaging principle in the mean square sense for SPDEs driven by fBm subject to an additional fast-varying diffusion process is established. To carry out these improvements, we combine the pathwise approach based on the generalized Stieltjes integration theory with the Itô stochastic calculus. Then, we obtain a desired limit process of the slow component which strongly relies on an invariant measure of the fast-varying diffusion process.

연구 동기 및 목표

• 허스트 매개수 $ H > 1/2 $ 를 가진 분수 Browian 운동(fBm)과 표준 Browian 운동에 의해 구동되는 혼합 SPDEs에 대해 경로 기반 해의 존재성과 유일성을 수립하는 것.
• 느린 성분이 fBm에 의해 구동되고 빠른 성분이 급격히 변화하는 확산 과정에 의해 구동되는 SPDEs에 대해 확률적 평균화 원리를 개발하는 것.
• 다중 노이즈 또는 비가산 분수 노이즈가 존재하는 무한차원 설정에서 기존 방법이 실패하는 한계를 극복하는 것.
• 혼합 노이즈 SPDEs에 대해 경로 기반 적분 기법과 Itô 확률 미적분을 통합하는 것.
• 빠른 성분의 역학에 대한 불변 측도에 의존하는 느린 성분의 극한 SPDE를 도출하는 것.

제안 방법

• 비-세미마팅글 fBm 성분을 다루기 위해 일반화된 Stieltjes 적분 이론에 기반한 경로 기반 접근법을 사용하는 것.
• 정지 시간 기법과 fBm의 근사화를 활용하여 혼합 SPDE의 해의 존재성과 경로 유일성을 확립하는 것.
• 빠른 성분의 확산 과정에 대한 불변 측도 이론을 적용하여 느린 성분의 극한 행동을 도출하는 것.
• SPDE 프레임워크 내에서 Brownian 운동 부분에 대해 Itô 확률 미적분을 적용하고, fBm 부분에 대해 경로 기반 적분을 통합하는 것.
• 교차항의 평균화 오차를 추정하기 위해 반군 $ S_t $ 의 수축 성질과 코쉬-볼라 증명을 활용하는 것.
• 빠른 과정의 마코프 성질을 통해 조건부 기대값의 구조를 정의하여 $ L^2 $ 에서 평균화 오차를 제어하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허스트 매개수 $ H > 1/2 $ 를 가진 fBm과 표준 Brownian 운동에 의해 구동되는 혼합 SPDEs가 무한차원 힐버트 공간에서 경로 기반 유일한 해를 가지는가?
• RQ2 느린 성분이 fBm에 의해 구동되고 빠른 성분이 급격히 변화하는 확산 과정에 의해 구동되는 SPDEs에 대해 확률적 평균화 원리가 성립하는가?
• RQ3 빠른 성분의 역학에 대한 불변 측도는 어떻게 사용되어 느린 성분의 평균 제곱 의미에서의 극한 행동을 특징지울 수 있는가?
• RQ4 fBm에 의해 구동되는 SDEs에 대한 기존의 존재성 및 유일성 결과를 다중 노이즈가 존재하는 무한차원 SPDE의 경우로 확장하기 위해 어떤 기술적 수정이 필요한가?
• RQ5 경로 기반 적분과 Itô 미적분의 조합이 비-세미마팅글 노이즈를 가진 혼합 SPDEs에 대해 일관된 프레임워크를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 정지 시간 기법과 fBm 근사화를 활용하여 비선형 계수 $ f, ho, g $ 에 대한 적절한 조건 하에서 혼합 SPDE (1.1)의 해의 존재성과 경로 유일성을 증명한다.
• 느린 성분에 대해 평균 제곱 의미에서 확률적 평균화 원리가 수립되었으며, 이는 fBm과 Brownian 운동에 의해 구동되는 극한 SPDE로 수렴하는 것을 보여준다.
• 극한 SPDE는 빠른 성분의 확산 과정의 불변 측도에 의존하며, 이는 평균화된 계수의 수렴을 보장한다.
• 평균화 원리의 오차는 $ C(1 + |X^ u_{k au}|^2 + | ilde{Y}^ u_{k au}|^2) e^{-\eta(s - \tau)/2} $ 로 유계화되어 시간 차이에 대해 지수적 감소를 나타낸다.
• 기존 결과를 다중 노이즈와 비가산 fBm을 가진 무한차원 SPDEs로 성공적으로 확장하여 이전 접근법의 한계를 극복한다.
• 느린 성분의 수렴은 $ L^2 $-의미에서 입증되었으며, 극한 과정은 빠른 과정의 불변 측도로부터 도출된 평균화된 이동 및 확산 계수로 특징지어진다.