[논문 리뷰] Patterns in Inversion Sequences II: Inversion Sequences Avoiding Triples of Relations

Megan A. Martinez, Carla D. Savage|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 26.

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한 줄 요약

이 논문은 전통적인 3자리 단어 대신 이元관계(ρ₁, ρ₂, ρ₃)의 삼중체를 사용하여 전위수열에서 패턴 회피를 연구하는 새로운 프레임워크를 제안한다. 이는 단조성, 비대칭성, 원소 중복 제약 조건 등의 조합적 성질을 더 표현력 있게 기술할 수 있게 한다. 주요 기여는 343개의 관계 삼중체를 체계적으로 정렬하여 Wilf-동치 클래스를 밝혀내고, 패턴 회피 전위수열이 피보나치, 벨, 오일러 수와 같은 잘 알려진 조합적 수열과 연결됨을 보여주는 것이다.

ABSTRACT

Inversion sequences of length $n$, $\mathbf{I}_n$, are integer sequences $(e_1, \ldots, e_n)$ with $0 \leq e_i < n$ for each $i$. The study of patterns in inversion sequences was initiated recently by Mansour-Shattuck and Corteel-Martinez-Savage-Weselcouch through a systematic study of inversion sequences avoiding words of length 3. We continue this investigation by generalizing the notion of a pattern to a fixed triple of binary relations $(ρ_1,ρ_2,ρ_3)$ and consider the set $\mathbf{I}_n(ρ_1,ρ_2,ρ_3)$ consisting of those $e \in \mathbf{I}_n$ with no $i < j < k$ such that $e_i ρ_1 e_j$, $e_j ρ_2 e_k$, and $e_i ρ_3 e_k$. We show that "avoiding a triple of relations" can characterize inversion sequences with a variety of monotonicity or unimodality conditions, or with multiplicity constraints on the elements. We uncover several interesting enumeration results and relate pattern avoiding inversion sequences to familiar combinatorial families. We highlight open questions about the relationship between pattern avoiding inversion sequences and families such as plane permutations and Baxter permutations. For several combinatorial sequences, pattern avoiding inversion sequences provide a simpler interpretation than otherwise known.

연구 동기 및 목표

• 전위수열에서 패턴 회피의 개념을 3자리 단어에서 이원관계 삼중체로 일반화하기.
• 단조성, 비대칭성 또는 중복 제약 조건을 갖는 전위수열을 관계 삼중체로 특성화하기.
• 특정 관계 삼중체를 회피하는 전위수열을 수량화하고 Wilf-동치 클래스를 식별하기.
• 패턴 회피 전위수열과 피보나치, 벨, 슈뢰더 수와 같은 고전적 조합적 가족 간의 연결 고리 설정하기.
• 남아 있는 회피 집합에 대한 Wilf-동치와 수량화 문제를 부각하기.

제안 방법

• 패턴 회피를 3자리 단어 w₁w₂w₃에서 이원관계 삼중체 (ρ₁, ρ₂, ρ₃)로 재정의하며, i < j < k 이면 eᵢρ₁eⱼ, eⱼρ₂eₖ, eᵢρ₃eₖ 가 동시에 성립하지 않아야 한다.
• 회피 집합 Iₙ(ρ₁, ρ₂, ρ₃)을 정의하여, 길이 n인 전위수열 중에서 이러한 삼중관계를 만족하지 않는 수열의 집합으로 한다.
• 집합 {<, >, ≤, ≥, =, ≠, −}³ 에서 가능한 343개의 관계 삼중체를 체계적으로 분석하며, 여기서 '−'는 전지수 관계를 의미한다.
• 비등가 패턴 간의 Wilf-동치를 증명하기 위해, α 및 β와 같은 이분형 사상(역사상)을 사용하며, 특히 010, 100, 120, 201 회피를 포함한 클래스에 초점한다.
• 직접 수량화와 구조적 분석을 통해 회피 집합을 알려진 조합적 수열과 연결하며, 순열 및 s-전위수열과의 관계를 고려한다.
• 온라인 정수 수열 도서관(OEIS)과 PermLab와 같은 계산 도구를 활용하여 수열을 검증하고 발견한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이원관계 삼중체 (ρ₁, ρ₂, ρ₃)의 회피가 특정 단조성 또는 비대칭성 성질을 갖는 전위수열을 특성화할 수 있는가?
• RQ2 서로 다른 패턴 (ρ₁, ρ₂, ρ₃) 간에 동일한 수량화 수열을 갖는 Wilf-동치 관계가 존재하는가?
• RQ3 특정 관계 삼중체를 회피하는 전위수열이 기존의 패턴 회피 순열로의 실현보다 더 단순한 조합적 해석을 제공할 수 있는가?
• RQ4 패턴 회피 전위수열과 백서 순열 또는 부호 순열과 같은 고전적 조합적 대상 간에 이분형 사상이 존재하는가?
• RQ5 남아 있는 열린 케이스, 예를 들어 Iₙ(010), Iₙ(100), Iₙ(120), Iₙ(201)에 대한 수식적 수량화 공식을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 343개의 가능한 관계 삼중체 중에서 98개의 동치 클래스를 식별하고, 63개의 Wilf-동치 클래스를 추측한다.
• 회피 집합 Iₙ(≥, ≥, ≥)는 길이 3 이상의 약하게 감소하는 부분수열을 포함하지 않는 전위수열과 동치이며, {000, 100, 110, 210}을 모두 회피하는 것으로 간주된다.
• (−, ≠, ≥)와 (≠, −, ≥)는 Wilf-동치이며, 각각 {110, 210, 120, 201, 010} 및 {100, 210, 120, 201, 010} 을 회피한다.
• 이분형 사상 α는 010-회피, 120-회피, 201-회피를 유지하며, 이로 인해 (−, ≠, ≥)와 (≠, −, ≥) 간의 Wilf-동치를 증명할 수 있다.
• 논문은 Iₙ(021) = Iₙ(<, >, <) 및 Iₙ(010) = Iₙ(<, >, =) 가 알려진 수열, 즉 오일러 up/down 수와 벨 수와 연결되어 있음을 규명한다.
• 다수의 열린 문제들이 남아 있으며, 특히 Iₙ(>, −, >) 가 Sₙ(4231, 42513)과 등수를 이루는지, Iₙ(=, ≥, −) 가 벨 수열과 등수를 이루는지 여부가 남아 있다.