[논문 리뷰] Pauli Partitioning with Respect to Gate Sets

Andrew Jena, Scott N. Genin외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 18.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 6인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 변량 양자 알고리즘에서 측정 오버헤드를 줄이기 위해, 클리포드 게이트를 사용하여 가환 파울리 연산자를 동시에 측정 가능한 집합으로 묶는 파울리 분할 방법을 제안한다. 이 문제는 그래프 색칠 문제와 동치임을 증명하고, 단일 큐딧 게이트 대신 임의의 클리포드 연산을 사용할 경우 파울리 연산자의 길이에 비례해 측정 라운드 수를 선형적으로 줄일 수 있다고 추측하며, 이는 VQE 측정 속도를 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

Measuring the expectation value of Pauli operators on prepared quantum states is a fundamental task in a multitude of quantum algorithms. Simultaneously measuring sets of operators allows for fewer measurements and an overall speedup of the measurement process. We investigate the task of partitioning a random subset of Pauli operators into simultaneously-measurable parts. Using heuristics from coloring random graphs, we give an upper bound for the expected number of parts in our partition. We go on to conjecture that allowing arbitrary Clifford operators before measurement, rather than single-qubit operations, leads to a decrease in the number of parts which is linear with respect to the lengths of the operators. We give evidence to confirm this conjecture and comment on the importance of this result for a specific near-term application: speeding up the measurement process of the variational quantum eigensolver.

연구 동기 및 목표

• 변량 양자 고유값 해법(VQE)에서 측정 라운드 수를 최소화하기 위해 파울리 연산자를 동시에 측정 가능한 집합으로 분할하는 것.
• 특히 단일 큐딧 클리포드 게이트와 임의의 클리포드 게이트를 비교함으로써, 파울리 연산자 분할의 효율성에 영향을 미치는 게이트 세트의 영향을 분석하는 것.
• 파울리 연산자 분할을 그래프 색칠 문제와 연결하는 이론적 프레임워크를 수립하고, NP-난이도임을 증명하며 히وري스틱 분석을 가능하게 하는 것.
• 임의의 클리포드 군을 사용할 경우 파울리 연산자 길이에 비례해 필요한 측정 라운드 수를 선형적으로 줄일 수 있다는 추측을 내세우고 이를 뒷받침하는 증거를 제공하는 것.
• 측정 단계를 가속화함으로써 근접한 양자 하드웨어에서의 알고리즘 성능을 향상시키는 것 — 이는 NISQ 장치에서의 주요 성능 저하 요인이다.

제안 방법

• 가환하지 않는 파울리 연산자가 간선으로 연결된 그래프로 파울리 연산자 분할 문제를 모델링하고, 유효한 색칠이 동시에 측정 가능한 집합에 대응하도록 한다.
• 랜덤 그래프 색칠 히وري스틱을 사용하여 주어진 게이트 세트 하에서 분할의 예상 부분 수에 대한 상한을 유도한다.
• 클리포드 게이트의 귀납적 구성법을 적용하여 가환 파울리 연산자를 동시에 대각화할 수 있음을 증명한다.
• 소수 차원 큐디트에서의 일반화된 파울리 행렬을 활용하여 결과를 qubit 이외의 경우에도 일반화한다 (q=2는 큐비트 응용에 해당).
• 클리포드 게이트의 공액 규칙(예: $F_q$, $R_q$, $SUM_q$)을 활용해 단계적으로 파울리 연산자를 대각형으로 변환한다.
• 임의의 클리포드 연산이 단일 큐딧 연산보다 다중 큐디트에 걸쳐 비대칭 성분을 더 효율적으로 제거할 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 큐딧 클리포드 게이트 대비 전체 클리포드 군을 사용할 경우, 파울리 연산자 집합을 분할하기 위해 필요한 부분 수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 더 강력한 클리포드 연산을 사용하여 가환 파울리 항을 묶음으로써 VQE의 측정 횟수를 줄일 수 있는가?
• RQ3 임의의 클리포드 게이트를 사용할 경우 단일 큐딧 연산 대비 파울리 연산자의 길이에 비례해 부분 수가 선형으로 감소하는 데 이론적 근거가 있는가?
• RQ4 랜덤 그래프 색칠 히وري스틱을 사용할 경우 파울리 연산자 분할의 예상 부분 수는 얼마인가?
• RQ5 가환 파울리 연산자의 구조는 양자 게이트를 통한 동시에 대각화의 복잡도와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 동시 측정 가능한 집합으로 파울리 연산자를 분할하는 문제는 다항시간 동치 관계에 있어 그래프 색칠 문제와 동치임을 증명하며, 이는 NP-난이도임을 입증한다.
• 랜덤 그래프 색칠 히وري스틱을 사용하여 분할의 예상 부분 수에 대한 상한을 도출한다.
• 논문은 임의의 클리포드 게이트를 사용할 경우 단일 큐딧 클리포드 연산 대비 파울리 연산자의 길이에 비례해 부분 수를 선형적으로 줄일 수 있다고 추측한다.
• 큐디트에서 임의의 가환 파울리 연산자 집합을 동시에 대각화할 수 있는 클리포드 게이트의 귀납적 구성법을 통해 증거를 제공한다.
• 이 방법은 VQE의 측정 단계에서 라운드 수를 크게 줄여주며, 근접한 양자 하드웨어에서 알고리즘 실행 속도를 직접적으로 향상시킨다.
• 이론적 프레임워크는 소수 차원 큐디트로 일반화되며, 즉각적인 적용 가능성이 큐비트 기반 양자 알고리즘에 있다.