[논문 리뷰] Perfect Sampling of Hawkes Processes and Queues with Hawkes Arrivals

Xinyun Chen|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 15.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 하크스/GI/1 대기열에 대한 최초의 정확한 샘플링 알고리즘을 제시하며, 정적 분포에서 정확한 i.i.d. 샘플링을 가능하게 한다. 하크스 과정에 대해 클러스터 표현에 대한 중요도 샘플링을 활용한 새로운 효율적인 정확한 샘플링 방법을 도입하여 이전 방법에 비해 계산 효율성을 크게 향상시키며, 유한한 기대 종료 시간을 보장함으로써 자기각화 대기열 시스템의 정확한 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we develop the first perfect sampling algorithm for queues with Hawkes input, i.e. single-server queues with Hawkes arrivals and i.i.d. service times of general distribution. In addition to the stability condition, we also assume the excitation function of the Hawkes process has a light tail and the service time has finite moment generating function in the neighborhood of the origin. In this procedure, we also propose a new perfect sampling algorithm for Hawkes process with improved computational efficiency compared to the existing algorithm. Theoretical analysis and numerical tests on the algorithms' correctness and efficiency are also included.

연구 동기 및 목표

• 단일 서버 대기열에 하크스 입력이 있는 경우, 도착이 자기각화되는 상황에서 최초의 정확한 샘플링 알고리즘을 개발하는 것.
• 의존적이고 자기각화되는 도착이 있는 대기열에서 정적 상태 대기 시간을 시뮬레이션하는 데 도전하는 것. 이는 기존 방법으로는 해석적으로 접근이 불가능하다.
• 기대 종료 시간이 유한한 하크스 과정에 대한 새로운 정확한 샘플링 알고리즘을 설계하여 이전 접근법의 무한한 복잡도 문제를 해결하는 것.
• 자기각화 도착이 있는 대기열 시스템에서 정적 상태 성능 지표(예: 평균 및 분산)의 정확한 수치 계산을 가능하게 하는 것.
• 정확한 시뮬레이션을 통해 자기각화가 대기열 성능에 미치는 영향, 특히 대기 시간 분포와 산란도에 미치는 영향을 조사하는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 하크스 과정의 클러스터 표현을 사용하여 각 부모 이벤트가 유도하는 이벤트 클러스터로 도착을 모델링함으로써 효율적인 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 기대 랜덤 시드 수를 줄이고 기대 종료 시간이 유한해지도록 하기 위해 클러스터 표현에 중요도 샘플링을 적용한다.
• 과정 $ R(n) $ 를 지배하는 쌍방향 랜덤 워크 $ \tilde{R}(m) $ 를 구성하여, $ \max_{m\geq n}\tilde{R}(m) $ 를 사용해 $ \max_{n\geq 0}R(n) $ 를 시뮬레이션할 수 있도록 한다.
• 정적 상태 대기 시간은 $ \max_{n\geq 0}R(n) $ 로 표현되며, 이 최댓값은 랜덤 워크 이론 기법을 활용해 지배 과정과 함께 공동으로 시뮬레이션된다.
• 커플링-프롬-더-패스트 프레임워크 내에서 공통화를 통해 정확한 샘플링을 보장하며, $ B=0 $ 인 베르누이 시험 결과가 관측될 경우 종료가 보장된다.
• 알고리즘은 나머지 시뮬레이션과의 혼합 시간 비교를 통한 수치 실험을 통해 검증된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하크스 도착이 있는 단일 서버 대기열에 대해 정확한 샘플링 알고리즘을 개발할 수 있는가? 이 경우 도착은 자기각화되고 상관관계가 있다.
• RQ2 기존 하크스 과정에 대한 정확한 샘플링 알고리즘의 무한한 기대 복잡도 문제는 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ3 하크스/GI/1 대기열에서 정확한 샘플링 알고리즘의 기대 샘플 경로 길이와 나머지 시뮬레이션의 혼합 시간 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 도착의 자기각화는 대기열의 정적 상태 평균 및 분산 대기 시간에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 클러스터 구조를 가진 다른 포인트 프로세스로 하크스 과정에 대한 클러스터 표현에 대한 중요도 샘플링 기법을 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 하크스/GI/1 대기열에 대한 정확한 샘플링 알고리즘은 기대 샘플 경로 길이가 유한하며, 테스트된 예제에서 $ E[T_{ps}] \approx 28.4936 $ 이다. 이는 나머지 시뮬레이션의 혼합 시간 $ T \approx 40 $ 보다 짧다.
• 알고리즘에 의해 생성된 샘플 경로의 50% 이상이 20 시간 단위 이내이므로, 많은 경우에서 빠른 수렴을 보인다.
• 샘플 경로의 10% 이상이 50 시간 단위를 초과하여, $ T < 50 $ 인 나머지 시뮬레이션에서 지속적인 일시적 편향이 발생하는 이유를 설명한다.
• 자기각화는 정적 상태 대기 시간의 평균과 분산을 모두 증가시킨다: $ h_1 = 0.7 $ 인 경우 $ E[W_\infty] = 3.4388 $ 이고 $ Var(W_\infty) = 34.8779 $ 로, 분산-평균 비율은 10.1425 이다.
• 분산-평균 비율은 자기각화 정도에 따라 증가하며, 저각화(2.0567)에서 고각화(10.1425)로 증가하여 클러스터 도착이 있을 경우 산란도가 더 높음을 시사한다.
• 제안된 하크스 과정에 대한 새로운 정확한 샘플링 알고리즘은 기대 종료 시간이 유한하며, 이전 방법 [22] 에 비해 성능이 뛰어나며, 이는 기대 복잡도가 무한하기 때문이다.