[논문 리뷰] Periodic Symplectic Cohomologies

Jingyu Zhao|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 08.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 30인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 리우빌 도메인에 대해 그 심플렉틱 코체인 복합체에 고드윈의 주기적 순환 호몰로지(Periodic Cyclic Homology)를 적용하여 두 개의 주기적 심플렉틱 호몰로지 이론 $HP^{*}_{S^{1}}(M)$ 및 $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M)$을 도입한다. 주요 결과는 $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M,\mathbb{Q}) \cong H^{*}(M,\mathbb{Q})((u))$라는 국소화 이sovomorphism을 증명하여 존스와 페트랙의 주기적 등변 호몰로지 국소화 정리에 대한 심플렉틱 해석을 확립한다.

ABSTRACT

Goodwillie \cite{Goodwillie} introduced a periodic cyclic homology group associated to a mixed complex. In this paper, we apply this construction to the symplectic cochain complex of a Liouville domain $M$ and obtain two periodic symplectic cohomology theories, denoted as $HP^*_{S^1}(M)$ and $HP^*_{S^1, \mathrm{loc}}(M)$. Our main result is that both cohomology theories are invariant under Liouville isomorphisms and there is a natural isomorphism $HP^*_{S^1, \mathrm{loc}}(M, \mathbb{Q}) \cong H^*(M, \mathbb{Q})((u))$, which can be seen as a localization theorem for $HP^*_{S^1, \mathrm{loc}}(M, \mathbb{Q})$.

연구 동기 및 목표

• 리우빌 도메인에 대해 심플렉틱 코체인 복합체의 주기적 순환 호몰로지를 이용하여 주기적 심플렉틱 호몰로지 이론을 정의한다.
• 이 이론들이 리우빌 동형사상에 대해 불변성을 가짐을 확립한다.
• 존스와 페트랙의 주기적 등변 호몰로지에 영감을 받은 국소화된 버전 $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M)$을 구성하며, 이는 국소화 성질을 만족하지만 약한 호모토피 불변성은 만족하지 않는다.
• 국소화된 주기적 심플렉틱 호몰로지 $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M,\mathbb{Q})$와 형식적 멱급수환 $H^{*}(M,\mathbb{Q})((u))$ 사이의 국소화 이sovomorphism을 증명한다.

제안 방법

• 리우빌 도메인 $M$의 심플렉틱 코체인 복합체의 $S^1$-복합체 구조에 고드윈의 주기적 순환 호몰로지 구조를 적용한다.
• $HP^{*}_{S^{1}}(M)$을 심플렉틱 코체인 복합체의 주기적 순환 호몰로지로 정의하며, 이는 $\infty$-혼합 복합체로서의 구조를 활용한다.
• $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M)$을 존스와 페트랙의 국소화된 주기적 등변 호몰로지에서 영감을 얻어 심플렉틱 설정에 적응한 변형으로 도입한다.
• 자유 순환공 $\mathscr{L}\widehat{M}$ 위에서 보렐 구성(Borel construction)과 모스 이론을 사용하여 $S^1$-등변 심플렉틱 호몰로지를 모델링한다.
• 주어진 적합한 해밀토니안 $H^{i\pi+1}_t$의 수열을 따라 타월 구조(telelescope construction)를 통해 국소화된 이론을 구성하고, 주기적 호몰로지 군의 직접 극한을 취한다.
• 심플렉틱 코체인 복합체가 $S^1$-복합체임을 이용하여 주기적 복합체 위에 미분 $\delta^{S^1}$를 정의하고, 차수 및 계속성 사상 분석을 통해 호몰로지 계산을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱 코체인 복합체에 주기적 순환 호몰로지를 적용하여 리우빌 도메인에 대한 새로운 불변량을 정의할 수 있는가?
• RQ2 국소화된 주기적 심플렉틱 호몰로지 이론이 등변 위상수학에서의 국소화 성질과 유사한 성질을 만족하는가?
• RQ3 국소화된 주기적 심플렉틱 호몰로지와 형식적 멱급수환 $H^{*}(M,\mathbb{Q})((u))$ 사이에 자연스러운 이sovomorphism이 존재하는가?
• RQ4 주기적 심플렉틱 호몰로지 이론들이 리우빌 동형사상에 대해 어떻게 행동하는가?
• RQ5 $T^*Q$의 경우 $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M)$과 자유 순환공 호몰로지 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 국소화된 주기적 심플렉틱 호몰로지 이론은 $\mathbb{Z}/2$-중복된 $\mathbb{Q}((u))$-모듈로로서 $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M,\mathbb{Q}) \cong H^{*}(M,\mathbb{Q})((u))$를 만족한다.
• $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M)$ 이론은 도메인 $M$의 리우빌 동형사상에 대해 불변성을 가진다.
• 원환체 $A = S^1 \times [1,2]$의 경우 주기적 심플렉틱 호몰로지는 $HP^{*}_{S^{1}}(A) = (\mathbb{Z} \oplus \bigoplus_{k\in\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/k\mathbb{Z})((u))$로 계산된다.
• 직접 계산을 통해 $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(A,\mathbb{Q}) \cong H^{*}(A,\mathbb{Q})((u))$임이 확인되었으며, 이는 $H^{*}(S^1,\mathbb{Q})((u))$와 일치한다.
• $\delta^{S^1}$ 미분은 상수 순환 $\widehat{\gamma}_0, \widecheck{\gamma}_0$ 위에서 영이 되며, $k \neq 0$에 대해 $\delta^{S^1}(\widehat{\gamma}_k) = ku\widecheck{\gamma}_k$를 만족한다.
• 타월 구조에서 고차계 계속성 사상 $\kappa_i$는 $i \geq 1$일 때 영이 되며, 이는 $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(A)$의 직접 극한 계산을 단순화한다.