[논문 리뷰] Permanence properties of property A and coarse embeddability for locally compact groups

Steven Deprez, Kang Li|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 27.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 22인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act한 두 번 가산 (l.c.s.c.) 군에서 성질 A와 코arse 임bedding의 영구성 성질을 수립하며, 랏티스, 공-아메이블 부분군, 정규 확장, 측도 동치성 등의 다양한 조건 하에서 닫힌 부분군으로부터의 전이를 보여준다. 주요 기여는 일반적인 프레임워크를 제공하는 것으로, 적절한 기하학적 및 동역학적 조건 하에서 성질 A 또는 코arse 임bedding을 갖는 부분군이 존재할 경우, 그에 상응하는 대칭군이 동일한 성질을 상속함을 증명하는 데에 사용되는 적절한 코카이클과 쌍에 대한 성질 A를 활용한다.

ABSTRACT

If $H$ is a lattice in a locally compact second countable group $G$, then we show that $G$ has property A (respectively is coarsely embeddable into Hilbert space) if and only if $H$ has property A (respectively is coarsely embeddable into Hilbert space). Moreover, we show three interesting generalizations of this result. If $H$ is a closed subgroup of $G$ that is co-amenable in $G$, and if $H$ has property A (respectively, is coarsely embeddable into Hilbert space), then we show that $G$ has property A (respectively, is coarsely embeddable into Hilbert space). We also show that an extension of property A groups still has property A. On the coarse embeddability side, we show that if $\{e\} ightarrow H ightarrow G ightarrow Q ightarrow\{e\}$ is a short exact sequence, and if either $H$ is coarsely embeddable into Hilbert space and $Q$ has property A, or $H$ is compact and $Q$ is coarsely embeddable into Hilbert space, then $G$ is coarsely embeddable into Hilbert space. We extend the theory of measure equivalence to locally compact non-unimodular groups. In a natural way, we can also define measure equivalence subgroups. We show that property A and uniform embeddability into Hilbert space pass to measure equivalence subgroups. Using the same techniques, we show that also the Haagerup property, weak amenability and the weak Haagerup property pass to measure equivalence subgroups.

연구 동기 및 목표

• l.c.s.c. 군으로의 성질 A 및 코arse 임bedding의 영구성 결과를 부분군으로부터 확장하는 것.
• 이산 군에 대한 기존 결과를 l.c.s.c. 군의 맥락으로 일반화하는 것, 특히 랏티스와 공-아메이블 부분군에 초점을 맞추는 것.
• 다양한 군론적 확장 하에서 분석적 성질의 영구성을 유도하기 위해 적절한 코카이클과 쌍에 대한 성질 A를 사용하는 통합 프레임워크를 개발하는 것.
• 측도 동치성을 비-유일모듈라 l.c.s.c. 군으로 일반화하고, 성질 A, 코arse 임bedding 및 관련 성질(하아거룹, 약한 아메이블리티)이 측도 동치성 하에서 유지됨을 보이는 것.
• 계수를 가진 조립 맵의 분리-단사성과 관련된 분석적 성질을 연결하여 바움-콘스 추측에 대한 함의를 설정하는 것.

제안 방법

• 표준 확률 공간 내의 Borel 집합의 가족에 대해 Jolissaint의 하아거룹 성질 연구에 영향을 받아 일반화된 적절한 코카이클의 개념을 도입한다.
• G가 표준 확률 공간 X에 비정규적으로 작용할 때, 쌍 (G, X)에 대한 성질 A를 정의하며, 이는 위상적 아메이블리티의 개념을 일반화한다.
• 하위군 H에서의 커널 k₀를 사용하여 코프만 표현을 통한 적분을 통해 G × G → ℂ 으로의 양의 정부호 커널 k를 구성한다.
• 코카이클 항등식과 적절함을 이용하여 커널 k의 지지와 감쇠를 제어하여, 성질 A 또는 코arse 임bedding 조건을 만족시키도록 한다.
• 집합 {g⁻¹h : |k(g,h)| > δ} 의 전compactness 가 구성 과정에서 유지됨을 이용하며, 이는 코arse 임bedding에 있어 핵심적이다.
• 일반 정리에 기반하여 특정 케이스(랏티스, 공-아메이블 부분군, 정규 확장, 측도 동치성)에 적용하여 영구성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 닫힌 부분군 H ⊂ G 가 성질 A 또는 코arse 임bedding을 갖는다면, 어떤 조건에서 전체 군 G 도 동일한 성질을 갖는가?
• RQ2 이산 군에 대한 기존의 영구성 결과를 국소적으로 컴팩트한 두 번 가산 군의 맥락으로 확장할 수 있는가?
• RQ3 측도 동치성은 비-유일모듈라 l.c.s.c. 군으로 일반화될 수 있으며, 어떤 분석적 성질이 그러한 동치성 하에서 유지되는가?
• RQ4 적절한 코카이클과 쌍에 대한 성질 A는 l.c.s.c. 군에서 분석적 성질의 영구성을 증명하기 위한 통합적 프레임워크로 얼마나 효과적인가?
• RQ5 특정 집합의 가족에 대해 적절한 코카이클이 존재할 경우, 성질 A 또는 코arse 임bedding 이 하위군으로부터 전체 군으로 전이될 수 있는가?

주요 결과

• H ⊂ G 가 l.c.s.c. 군 G 내의 랏티스이면, G 가 성질 A를 갖는다(또는 코arse 임beddable이다)는 것과 H 가 성질 A를 갖는다(또는 코arse 임beddable이다)는 것은 동치이다.
• H ⊂ G 가 닫힌 공-아메이블 부분군이고 H 가 성질 A를 갖는다(또는 코arse 임beddable이다)면, G 도 성질 A를 갖는다(또한 코arse 임beddable이다).
• G 가 H 를 정규 부분군으로 하고 Q 를 몫으로 하는 확장일 때, H 가 성질 A를 갖거나 H 가 컴팩트하고 Q 가 코arse 임beddable이면, G 는 힐버트 공간에 코arse 임beddable이다.
• 성질 A 및 코arse 임bedding은 l.c.s.c. 군에서 측도 동치성 하에서도 유지되며, 이는 이전 결과를 비-유일모듈라 설정으로 확장한 것이다.
• 하아거룹 성질, 약한 아메이블리티, 약한 하아거룹 성질 또한 l.c.s.c. 군에서 측도 동치성 하에서 유지된다.
• 확률 공간에 대한 적분을 통한 커널 k: G × G → ℂ 의 구성은, 하위군으로부터 유도된 필요한 감쇠 및 지지 조건이 성질 A 또는 코arse 임bedding을 위해 그대로 유지됨을 보장한다.